Soit

une équation différentielle linéaire dont les coefficients soient des fonctions elliptiques de ;/, aux périodes 2 (U| et 2(02* Supposons que ses intégrales soient uniformes, ce dont il est aisé de s'assurer en les développant en séries. Nous allons donner le moyen de les déterminer.

Soient ^4(1/), . . ., fn(<^) un système de n intégrales indépendantes. Si nous changeons u en u + acoi, Téquation transformée, laquelle est identique à l'équation primitive, admettra comme système d'intégrales indépendantes

fiQUATIONS LINÉAIBES, 277

Ces nouvelles fonctions seront donc liées aux intégrales primitives par des relations linéaires de la forme

les c étant des constantes dont le déterminant n^est pas nul.

Le changement de ii en u-\-2iùi dans les intégrales <Pi, •••» ?« revient donc à opérer sur ces intégrales une substitution lini'aire, que nous désignerons par S.

On verrait de même que le changement de // en w + 20)2 équivaut à une autre substitution linéaire S'.

Enfin le changement de u en w-j- 2(Ui 4- 2(02 équivaudra à opérer successivement la substitution S suivie de la substitution S', ou la substitution S', suivie de S. Les deux opérations S et S' satisferont donc à la relation