V-î) SS'.-rS'S

220. Proposons-nous de simplifier l'expression des substitutions S et S' en remplaçant cpi, . . . , cp„ par un autre système d'intégrales indépendantes.

Soit s l'une des racin^:.? de Téquation caractéristique de S ; il existera des intégrales que S multiplie par 5; soient j^, y, . . . celles de ces intégrales qui sont distinctes. La forme générale des intégrales qui jouissent de cette propriété sera oiy -h ct/y -+-....

Soit Y la fonction que S' fait succéder à^; SS' remplacera j^par^Y; S'S doit produire le même résultat; or S' remplace y par Y; donc S doit transformer Y en sY ; donc Y est de la forme ciy -+- a'y' -|- . . . .

La substitution S' remplaçant ainsi chacune des intégrales^, y^ . . . par une fonction linéaire de ces mêmes intégrales, il existera au moins une fonction linéaire x de ces intégrales que S' multiplie par une constante 5'.

Nous avons donc prouvé qu'il existe au moins une intégrale ûc que S et S' multiplient respectivement par des constantes s et s'.

221. Nous allons démontrer qu'on peut déterminer ui> système d'intégrales indépendantes

• » yxif ' ' • y y\f\^

'IJLl

tel que les deux substitutions S, S' prennent la forme vante :

SUl~

Sz=

y\ky • • • 3

i/iA, .

^\ky • • • <

» ^iky '

y\ky ' "i

^\kj - • •

Siyik^ • • •»*i(7iit-f- Y,)i.), • • • • > • • • > '

s\yxky ...,5;(y/;t-f-Y;.j, • • • • » • • • ) >

^1; ^'i f <^27 <^2 > * * • étant des couples de constantes différents; Yiff^ Yj.y^ des fonctions linéaires de celles des intégrales y dont le premier indice est <::^ i; Zi^^? Z^a ^^^ fondions linéaires de celles des intégrales z dont le premier indice est

f, etc.

Celte proposition étant supposée vraie pour les substitutions à moins de n variables, nous allons montrer qu^elle subsiste pour deux substitutions S, S' à /i variables.

On a vu qu'il existe au moins une intégrale x que S et S' multiplient respectivement par des constantes 5, s\ En la prenant pour intégrale indépendante à la place d'une des intégrales primitives, telle que o„, S et S' prendront les formes suivantes :

les diverses quantités <l>, <E>' étant des fonctions linéaires de Désignons par S, S' les substitutions k n — i variables

Su::

ÉQUÀTIONS LINfiAlRES. 279

L'égalité SS' ^- S' S entraînera évidemraent la suivante :

On pourra donc, en appliquant le théorème à ces substitutions, les mettre sous la forme (3). Le même changement d'intégrales indépendantes, appliqué à S, S', les mettra évidemment sous la l'orme

yik:

-•In»

ytk^

y ^iky

Yxky

yik:

SX J

Cik^i •

d\fgXy .

Prenons pour intégrales indépendantes, au lieu des y^ les suivantes :

• }'ik'-~yik-^^ik^',

les substitutions S, S' conserveront la forme précédente, sauf le changement de

C/yt en (s — Si)cia—SiAij,.-hCif,,

A|A, A'^jç étant ce que deviennent Y/^, Y^y^, quand on y remplace lesj^ par les a correspondants.

Cela poséy si i^^i, on pourra évidemment disposer des a de manière à faire disparaître tous les coefficients c/a. Les coefficients c^-^ disparaîtront d'ailleurs en même temps, en vertu de l'égalité SS'= S' S. Égalons en eflfet les coefficients de X dan» les expressions que SS' et S' S font succéder à yi^ ; il viendra

C1A7 C;a étant ce que deviennent respectivement YJ^^ et Y/a

sSo thoisièmb partie. — chapitre ii.

lorsqu'on y remplace les jk par les c ou par les d correspondants. Si les Cik sont nuls, ces relations se réduisent à )a forme

Ces équations sont linéaires et homogènes par rapport aux c\i^y et leur déterminant, étant une puissance de S\ — 5, n'est pas nul. Elles ne peuvent donc être satisfaites que si les c)-^ sont tous nuls.

Si5'^5^, on pourra de même faire disparaître les c^-^; et les relations (4) montrent que les cik disparaîtront en même temps.

Si donc le couple de constantes 5, s! ne se confond avec aucun des couples 5|, s\\ s^y s\^\ . . •, on pourra faire disparaître tous les coefficients c^, c\i^\ c//^, rfj^; . . .; et S, S' seront ramenées à la forme requise ; aux diverses classes d'intégrales y^z^ ... viendra seulement se joindre une classe nouvelle, formée de la seule intégrale x. Soit, au contraire. .«; r:= 5o 5'=^ s\ ; on pourrafaire disparaître les coefficients ^/>, d\f^^ ... ; et l'on n'aura qu'à poser Cik-=. S\ mik, c)a= s\ m\f^ pour ramener S et S' à la forme requise, la nouvelle intégrale X rentrant ici dans la catégorie des intégrales j^< a, qui appartiennent à la classe des y et ont l'unité pour premier indice.

222. Admettons donc que les intégrales indépendantes aient été choisies de manière à ramener les substitutions S, S' à la forme (3). Considérons en particulier une des classes formées par ces intégrales, telle que ^n> • • • ? yiici • • • • Le changement de e^ en m 4- aw, ou w + 2CO2 leur fera éprouver les substitutions partielles

' ^ =^| J'iArï • • • ) yik) • • • > ^iJ^lA» •••>*! \yik~^ * /*)♦ • • • li

lesquelles devront évidemment satisfaire à la relation

(6) w'— or'cr.

ÉQUATIONS LINEAIRES. 28 1

On a, par définition,

la sommation s^étendant à toutes les valeurs du premier indice / qui sont <^ /, et aux diverses valeurs de m correspondant à chacune de ces valeurs de /.

On voit aisément que to^ remplace en général yi> par

; \yik H- Y,* + y;,-. 2, „ («'* 2^ J'^'^'"")]

la sommation par rapport à /', m' s'étendant aux valeurs de /' inférieures à / et aux valeurs correspondantes de m! ,

La substitution o^o- rem placera jk/a par "ne expression analogue, où les coefficients a et 6 seront permutés.

Ces deux expressions doivent être identiques, en vertu de (6). En égalant les coefficients des termes en j^/,„-, on aura les relation»

la sommation s'étendant à toutes les valeurs de / qui sont <; i et >> /', et aux valeurs correspondantes de m.

223. Réciproquement, soient o-, a' deux substitutions de la forme (5) et satisfaisant à la relation (6) ou aux conditions équivalentes (7). Nous allons montrer qu'on peut construire des fonctions j^n, • . ., jk/a qu' subissent ces substitutions lorsqu'on accroît la variable 2^ de 2(0| ou de aoij, et nous déterminerons la forme la plus générale de ces fonctions.

Considérons à cet effet la fonction doublement périodique de seconde espèce

G(„)=*-IV— «K Elle admet les multiplicateurs

a83 TROISIÈME PÀRTie. — CHAPITRE II.

qui se réduiront respectivement à 5,, 5',, si Ton détermine 6, a par les équations

2to, 6 -4- aTQjflr = log^i,

2<i),6 -h 27),a=: log^'j.

On peut toujours y satisfaire, le déterminant

étant égal à zh 2Tzi, Posons

Lorsqu'on accroîtra e/ de 20)4 ou de 20)2, les nouvelles fonctions Xik subiront les transformations

(t) I ;2?jj(., . . . , •Î'/A-, • • • * «^i*» • • • i ^ik ~^ ^/Aï • • • I?

("^ ) I ^lAï • • • • J^/A> • • • ï ^ikf ' ' • 1 •'^i/t~H -X^/^i • • • h

Xivi, Xy^t étant ce que deviennent Y/^, Y].;^ lorsqu'on y remplace les^y/A par les xn^. Les substitutions t, t' seront échangeables entre elles.

Il reste à obtenir l'expression des fonctions ^/a-