Pour cela considérons l'expression
tp(a)= mu -h m' lia.
Lorsque u s'accroît de 2(i)| ou de 20)2, elle subit des ac« croissements
En choisissant convenablement les constantes m, m', on pourra obtenir :
1° Une fonction (jL|1^ m< m -j- m, Ça dont les accroissements respectifs A|jli , A'|jl4 soient i et o ;
2** Une fonction ik\= m2U -{- m'^^u dont les accroissements A|ji',, A'[i.'^ soient o et i.
ÉQUATIONS UNÉAiass. a8S
Posons plus généralement
Nous aurons évidemment
(fX^-f-l)[X,...([X,— t-f-2)
AjX/=r :
, |X,(tX,--l)...(fAt— I -Hl)
Ap.; r- O, A'}Xf=o, A' jA/ == fA/- , ,
et ces formules subsisteront pour 1=^1, si Ton convient de poser
jxo — jx'ç 1=11 .
Tout polynôme entier P en jji|, a^, considéré comme fonction de |jLj , peutévidemmenl se mettre d'une seule manière sous la forme
les A étant des polynômes en [jl', dont chacun pourra à son lour se mettre d'une seule manière sous la forme
Le polynôme P pourra donc se mettre d'une seule manière, sous la forme
225. Ces préliminaires posés, nous allons établir qu'il existe des fonctions xnç qui subissent respectivement les transformations (t), (t') lorsque u augmente de 2o>, ou de 2Ci>2, et qu'elles ont pour forme générale
• • • • • j j?<*:=Hi*-|-2p;2'H,„,
les H désignant des fonctions elliptiques arbitraires et les P^j^ des polynômes d'ordre i — / en [jli, jji'^ et entièrement déterminés; la sommation s'étendant d'ailleurs à toutes les valeurs de /inférieur à i et aux diverses valeurs de ni correspondantes à chacune d'elles.
On voit tout d'abord que les fonctions ;r«A, . . . , restant inaltérées, sont des fonctions elliptiques, telles que H^^^.
Supposons donc qu'on ait construit, de proche en proche, toutes celles des fonctions xik^ dont le premier indice est moindre que X, et qu'elles aient la forme annoncée. Nous aurons, pour continuer l'opération, à construire des fonctions x\k qwG le changement de w en a -*- atoi ou w -}- 2C1J2 transforme respectivement en
x\ft -\- Xxa, ^x* -h Xx*.
Substituons aux fonctions ar/A, qui figurent dans Xxa, Xy,., leurs valeurs déjà déterminées; il viendra
Qa?j Qu'" étant des polynômes en pi,, jx', , lesquels dépendent linéairement des coefficients de Xxa? ^\k\ 1* sommation s'étendant d'ailleurs à tous les systèmes de valeurs de /, m pour lesquels l<i\.
Les substitutions Tc' et t't transforment respectivement ^xa
en
^.k -+- Xu -H XxA -H S'XxA et en
^A^- XxA.-f- X'^-t- oXx;t)
o'XxA désignant l'accroissement que subit Xx* par la substitution t'; SXxa celui que subit X^it par la substitution t.
D'ailleurs en appliquant ces substitutions aux fonctions déjà construites, ou aux quantités X^^, Xx* qui en sont des fonctions linéaires, on obtient, par hypothèse, le même résultat qu'en changeant i/ en </ + 2(i)| ou u-\- ^tù^] on aura donc
3'XxA^.A'Xx*=A'SQ$-H,^, SXiAZz. AXiA^ASQJi-H,^.
EQUATIONS UNÉAIRES. a85
Les fonctions elliptiques H/m étant arbitraires, régalilé de ces deux expressions exigera que Ton ait pour tout système de valeurs de /, m où / <^ X,
Or si l'on met les polynômes Qu , Q'/jT sous la forme
Q(J'=: SB,, ,!,(.;, 1 0'/«-vB' au' (^ + '-'<^-'-0.
on aura, en vertu des relations (8),
Ces deux expressions devant élre identiques, on aura les équations de condition
Cela posé, on pourra déterminer un polynôme d'ordre X — /
en [X,, |x,,
tel que ses variations
se réduisent respectivement à Q)^, Qu"*» car ces deux identifications donnent les équations de condition
qui sont compatibles, en vertu des relations (q). Posons maintenant
Le changement de u enii 4- awj accroîtra cette expression de
286 TROISIÈaiE PARTIE. — CHAPITRE II.
et celui de u en w -4- 20)2 l'accroîtra de même de AVxA-f-X^^v Pour que la fonction xm satisfasse aux conditions requises, il sera donc nécessaire et suffisant que Ton ait
ce qui exprime que ç\ft est une fonction elliptique Hxaj d'ailleurs arbitraire.
