Les intégrales j^i> sont donc de la forme

Mais les constantes a, b et les fonctions elliptiques H ne sont pas encore connues. Il s'agit de les déterminer.

Le procédé qui nous a permis de reconnaître que l'intégrale générale était uniforme nous a fourni la position de ses pôles c, ûf, . . . et leurs ordres de multiplicité y, 8, ....

D'autre part, la fonction jr-, — r a un seul pôle w :== — a ( lequel

disparaîtra même si a =:= o, auquel cas 0{u) se réduit à une exponentielle).

Enfin les fonctions ja,, |a'^ qui figurent dans les polynômes P admettent le pôle simple m = o.

Les fonctions

auront donc les pôles c, ûf, . . . et le pôle inconnu — a, avec des ordres de multiplicité au plus égaux à y, 8, . . ., i; et les fonctions

pourront admettre, en outre, le pôle w = o, avec un ordre de multiplicité au plus égal à i (car si cela est vrai pour les fonctions dont le premier indice est •< i , m = o sera d'un

ordre de multiplicité / pour H/m, et d'ordre i — / pour le polynôme P(J*, qui est dWdre i — /en [ji<, [jl'J,

On aura donc, par la décomposition en fractions simples,

H/;t= cj,(;(a-c) + ...H-cr,^îT-«(£^-c)

-f-D;^Ç(«--c)4-,..-+-Df^C8-i(^^)

avec la condition

Les termes de la dernière ligne peuvent être transformés comme il suit.

Posons

On aura

A^JaC(" -+■ «) --^- ^ik-- A/^[Ç(m -h a)— Ça] -f- W

L 2 pw— j>a J

Par suite de cette transformation, la constante inconnue a ne figurera plus dans H/;^ que dans les combinaisons pa^ p'a.

227. il ne reste plus dUnconnu que les constantes a, 6, C^-^, . . . , LiVfr. On les obtiendra par la méthode des coefficients indéterminés, en substituant les valeurs ci-dessus des intégrales j^/A dans Téquation différentielle.

Cherchons d'abord celles de ces intégrales

yxk — G{u)^\ky

dont le premier indice est i et qui, par suite, sont doublement périodiques de seconde espèce. Il en existe toujours, comme nous Tavons vu.

288 TROISIJUIB PARTIE. — CHAPITRE 11.

On a, en prenant la dérivée logarithmique de G({^),

= ?(« -f-a)~- Cm -h ô, pu — pa

C^est une fonclion elliptique où a et 6 ne figurent que dans les combinaisons ^a -h b = 6', pa el p'a. Désignons-la, pour abréger, par I.

On aura

^j,*:=.G(H'„, + IHu)'-t-G'(H;^ + IH,,) - G[(H',* -I- IH,*)' 4- I{H',t -I- IH„)].

On voit donc que le résultat R de la substitution de^,* dans l'équation différentielle est de la forme