GE

E désignant une fonction elliptique dépendant linéairement des constantes C|a) «-mLiAi qui figurent dans la fonction elliptique H,yfr, et rationnellement des quantités Ça -t- 6^^ 6', pa, p'a.

Les pôles de GE sont les points c^d, , , . avec des ordres de multiplicité au plus égaux à y -h /i, 3 -H /i, ... ; E peut admettre, en outre, le pôle simple — a, qui est un zéro de G. Le nombre total des pôles de E ne peut donc surpasser Y -7- /i -r 5 - : - /i - ;- . . . -r ï . Si donc nous exprimons que celle fonction a des zéros en nombre supérieur à ce chiffre, nous saurons qu'elle est identiquement nulle, et que^i^ e>l une inlégrale.

Nous pourrons, par exemple, développer E suivanl les puissances croissantes de Uj et égaler à zéro les coefficients des diverses puissances, jusqu'à celle d'ordre

inclusivement. Les équations de condition ainsi obtenues forment un système surabondant; mais nous savons a priori qu'il a des solutions.

Ces équations sont linéaires et homogènes par rapport à C};i., . . ., L|A, rationnelles par rapport à b\ pa, p'a. Ces dernières quantités seront donc déterminées par des équations algébriques, auxquelles on devra joindre Téquation connue

p'^a ■-= 4p'a — gipa— ^,.

Une fois pa, p'a^ b' déterminés, on en déduira, par les procédés connus, a, JJa, et enfin b^=--'b' — Ça; enfin, les ■(]|^, . . ., \^xk s'expriment en fonction linéaire et homogène iFun ou plusieurs d'entre eux, qui resteront arbitraires.

Si le nombre total des solutions trouvées est égal à l'ordre n de l'équation, ce qui sera le cas le plus habituel, leur combinaison donnera l'intégrale générale; dans le cas contraire, il faudra déterminer de nouvelles intégrales.

228. Supposons que nous ayons construit toutes celles des intégrales yik^ . . . , 2/a, - . . , dont le premier indice est <i X, et déterminé les fonctions linéaires correspondantes Y/^t? Y/4, .... Cherchons à déterminer les intégrales ^^xa (s'il en existe) et les fonctions correspondantes Yx^, Y)jv.

On a

où tout est connu, sauf les coefficients indéterminés

Cx*', ...» Là*,

dont dépend Hx/t, et les coefficients de Yx^, Yx^., dont les polynômes ?>? dépendent linéairement.

Substituons cette expression dans l'équation différentielle. Le résultat sera de la forme GËxaj ^\k étant une fonction aisée à obtenir par la différentiation et telle que la somme des ordres de multiplicité de ses pôles ne surpasse pas p-f-w-T-Y4-/i + ... -+-1. D'ailleurs , cette fonction est elliptique. Eu effet, changeons uen a + 2(i)|. Il est évidem- J. — Cours, III. 19

ment indiOerent de faire cette opération suryxjv avant de le substituer dans Téquation difTérentielIe ou de la faire dans le résultat de la substitution. Dans le premier cas, on change y^K en 5| (^XA -H Yxa)j et, comme Yxa est une fonction linéaire des intégrales déjà trouvées, le résultat de la substitution de cette nouvelle expression se réduira à s^ GEx*. Donc GEx* se reproduit, multiplié par 5|, quand on change m en u -\- 2.iù^\ G jouissant de cette même propriété, Exa ne sera pas altéré.

On verra de même qu'on ne l'altère pas en changeant u en 1/ -f- 2 0)2 .

Il suffira donc, pour annuler Exa? d'exprimer qu'elle admet plus de p -1- /i -f- Y + '^ ~'~ • • • ~t" ' zéros. On obtient ainsi un système d'équations linéaires et homogènes pour déterminer les coefficients inconnus. Si ce système est compatible, on obtiendra des intégrales de l'espèce cherchée. Sinon, on sera assuré que la classe des intégrales r/> est entièrement épuisée, et l'on fera une recherche analogue sur les autres classes d'intégrales. On finira nécessairement par obtenir un système de n intégrales distinctes.

229. Parmi les équations qui rentrent dans le type considéré ci-dessus se trouve l'équation de Lamé

-^ — [n{n 4-i)j)M-hA]^==^o,

où n est un entier positif.

L'intégration de cette équation par M. Hermite a été le point de départ de la théorie précédente.

Les intégrales n'ont aux périodes près qu'un point critique u = Oj aux environs duquel elles sont régulières.

L'équation déterminante est

Ses deux racines, — n et /i H- i sont l'une paire et l'autre impaire. Soit r l'une d'elles ; on aura une solution de la forme

Substituons ce développement de j:, ainsi que celui depw

j) M = — -4- Cl «' -h Cj w* 4- . . . .

et égalons à zéro le coefficient du terme en u'^^V-^ nous aurons la formule récurrente

y^-|-2[A-h2)a,4^., — AajA — n(/i-hi)(Ciaj4, -+-c,ajjt-îH-...) — o,

dont l'application ne peut donner lieu à aucune difficulté, F(r-|- 2[jl4- 2) n'étant jamais nul.

Les deux intégrales particulières ainsi obtenues sont distinctes, car l'une est paire et l'autre impaire. L'intégrale générale résultant de leur combinaison sera uniforme et aura un pôle d'ordre n au point u = o.

Nous allons calculer cette intégrale dans le cas le plus simple, celui où n =:= i. L'équation se réduit à

Elle admet des intégrales périodiques de seconde espèce

La fonction H n'admet plus le pôle w = o, qui est déjà un pôle pour G, elle ne pourrait donc admettre que le seul pôle simple M = — a , mais cela est impossible ; elle se réduit donc à une constante et nous pouvons la supposer égale à l'unité.

Nous aurons donc au moins une intégrale de la forme

On a

9{u -ha)— <jaH- «d'an h

au i/(i-h ^i</*-f- . . ) u

2^2 TROISIÈXE PARTIE. - CHÀPITBE II.

d*oii le développement

r r=: H Mo -i- M, W -4- M, M* -i- . . . ,

en posant, pour abréger,

M = (Ta, Mo= ^cTûr 4- ff'a,

M. -- - b*Qa -f- ^a'an — a^a, .... ^

--^ — — - -H 2 Mj "H

On û enfin

2pM -h /l = — , -f- Ah- 2Citt* -h . ..

Substituons ces valeurs dans l'équation.

Le résultat sera une fonction doublement périodique de seconde espèce qui ne peut avoir de pôle (aux périodes près) que pour u :r= o. Si nous exprimons que les coefficients des puissances négatives de u et le terme constant s'annulent, la fonction, n'ayant plus de pôle, mais ayant un zéro, sera nulle.

On obtient ainsi les équations suivantes :

/iM-h2Mi = o, 2M, — 2M, — AMo = o,

qui se réduisent aux deux suivantes :

o ^Mo = b<sa ~{- cr'a, o = AM -h 2M1 =r Atra H- ^*<jrt 4- 2 6(T'a -+- cr'a; d'où

Q^ CL brz7-^=:-Za

ua

o := Acxa h <j"a,

Qa

h=i— = — — —va.

<s^a aa \^a J '

Cette dernière équation donne pour la constante a deux

et

ou

ÉQUATIONS LII«fiAIRBS. SqS

valeurs égales et contraires -i-a et — a, auxquelles correspondent pour b deux valeurs égales et contraires, — JJa et + 2^a. Nous avons donc, en général, deux solutions particulières distinctes

ait au

a et — a étant les racines de Téqualion transcendante

pa =z h.

230. Si h est égal à ruii*e des quantités e^, e^, ^3, par exemple à ei, les deux racines a = (04 et — a = — Wi sont égales aux périodes près, et les deux solutions particulières ne sont pas linéairement distinctes, mais se réduisent à la solution unique