JU
(laquelle ne diffère de (Ti^a que parle facteur constant rfcoi). Pour obtenir, dans ce cas, la seconde solution qui nous est nécessaire, supposons que A, au lieu d'être égal à Cj, en soit infiniment voisin. L'équation pa -- h admettra les deux racines Wi -i- e et (0| — e; nous aurons donc les deux intégrales
au au
Leur combinaison donne l'intégrale -' ? dont il est aisé
de trouver la limite pour e :^ o.
On a, en effet,
Ç((o, 4- e) — Çwj + êÇ' eu, H- . .. ~- ^ 1 — £ ^1 H- . • ,
nr: ff( « 4- (Uj ) [i -h e::( // -j- Wj ) H- . . .],
d'où
■1 — i4-e[?;(a-}-(Di)-heitt)-h. ..]}.
Xy
au
X2 s'obtiendra en changeant le signe de e; aura ëvi-
demmenl pour limite
ff( M -4- O), ) ^^ ^
Ce sera la seconde solution cherchée.
231. Cherchons encore dans quel cas l'équation de Lamé admet comme intégrale une fonction elliptique M(u) aux j)ériodcs 4^1 et 4^2.
L'équation n'étant pas altérée par le changement de u en — u, M + 2 w< , n -H 2(0,, admettra aussi comme solution les fonctions elliptiques M( — u), M(w-|-2(0|), M(m -t- acoa). Mais ces nouvelles intégrales ne peuvent être linéairement distinctes de M(m) ; car l'intégrale générale de l'équation ne peut être elliptique, puisque, parmi les intégrales particulières, il en est une qui est une fonction entière s'annulant pour u = o.
On aura donc
M( - u)~cM{ii)y M(w-i-2ti)i) — c,M(w),
c, Ci, C2 étant des constantes. D'ailleurs, en changeant encore une fois w en — u, u -\- 2{0i ou w H- 2(00, on voit qu'on aura c =r ±1, c<^-=i:i, C2 = =t:i.
On pourra donc écrire
M(w)— NP,
N désignant l*une des huit expressions
(dont le choix dépendra des signes de c, c^, C2) et P une fonction elliptique paire, aux périodes 2a)| et 2C1J2, et n'ayant de pôle que pour 11 = 0 : ce sera donc un polynôme entier en pu.
ÉQUATIONS LINÉAIRES. SgS
H est aisé de former les dérivées successives d'une expres- ■sion de celte forme. On a, en effet,
et, par suite,
n désignant un polynôme entier en e/, et N, le produit complémentaire de N formé par ceux des facteurs a-aoW que N ne contient pas.
On aura, par suite,
= — (n'P-i-2nP')N, - N,p„
Pj étant un polynôme en pu. On trouvera de même
Pa étant encore un polynôme en pu.
Le résultat de la substitution de NP dans l'équation de Lamé sera donc de la forme
"iî? -[«(«--Dp « - /' ] NP -: NQ,
OÙ Q est un polynôme entier en pu qui s'annulera identiquement si NP est une solution.
Soit
P — a^pV-u -h âTjjt-iP'*-' w -+-... 4- «0
et soit k le nombre des facteurs de N. Le premier membre sera infini d'ordre A" -}- 2 ix -|- a pour m = o ; il en sera de même du second. Donc Q est un polynôme de degré jJt. -r i, tel que
Q — Ap,^ipV-^^u-{-. . . 4- Aq.
La comparaison des valeurs principales donne immé-
diatemcnt
AjA-M = [{k-h2 jjL -m) (^ -h 2 [x) — n{n -+- 1)] a^,. Les coefficients suivants sont évidemment de la forme
A M 11= Jl>M "ÛJm j • • > ) A.Q ^^^ X>() flCCQy
Bp^, . • . , Bq étant des fonctions linéaires et homogènes en ûKmj • • • ) cLq, L'équation
donnera
A: -f- 2fJL =;/l.
Les autres équations
fourniront ensuite les rapports des inconnues a^, . . . , a© si leur déterminant est nul, ce qui donnera pour h une équation de degré [jl -h i .
Cela posé, si n est un nombre pair 2 m, on pourra supposer k = o^ ik = m, ce qui donnera m -+- 1 valeurs admissibles pour A.
On pourra encore poser A* = 2, u. = m — i, et l'on obtiendra m valeurs pour h; soit 3 m valeurs en prenant successivement pour N les trois produits de deux facteurs qu'on peut former avec les o^ao^^*
Le nombre total des valeurs de A, pour lesquelles l'équation admet une solution de la forme désirée, sera donc
m-hi -i-3m:rz2/i-t-i.
Si n est un nombre impair 2/?i-hi, il faudra supposer: 1*^ /f ^^ I, ^L=zm, d'où m -t i solutions, ou 3(7n -H i) en prenant successivement pour N chacun des trois facteurs 0*^0 w; 2° ou ^ =:= 3, |ji r=r m — I , d'où m solutions.
Le nombre total des valeurs de h qui fournissent des solutions de l'espèce NP sera donc
3 ( m 4- I ) -t- /n — 2 /i H- 1 , comme dans le cas précédent.
ÉQUATIONS LINfiAlRBS. 397
232. M. Halphen a montré qu'on peut ramener aux équations de M. Picard les équations
à coefficients elliptiques, lorsque les rapports de leurs intétégrales sont des fonctions uniformes.
Soit, en effet, a l'un des pôles des fonctions /?|, . . ., /?„. L'équation déterminante qui correspond à ce point sera
/•(/• — i)...(r — /i-}-i)-hûrr(/* — i)...(r — /n-2)4-... = o,
a désignant le résidu de p^ par rapport au point a.
Les quotients des intégrales étant uniformes, les racines de cette équation différeront les unes des autres de nombres entiers. Si donc on désigne par r Tune d'elles, leur somme sera égale à
nr -r- e,
e désignant un entier.
Mais cette somme est égale à
On aura donc
n(n — i) nr -k- e - . — a.
Faisons la somme des égalités analogues pour les divers pôles a contenus dans un parallélogramme de périodes. La somme des résidus a étant nulle, il viendra
«Sr =r entier.
Donc Sr est un nombre commensurable.
Soit m le plus petit entier tel que la quantité
298 TROISlfeXB PARTIE. — GHAPITUB II.
soit un entier. Posons
UiLy"n[a(«-«)r.
Si nous changeons u en mH- amto (20) désignant une période primitive quelconque) ^{11 — a) se reproduira, multiplié par
gS m Y] ( li-f-mo)— a )-4-OTiri
et 0-— se reproduira, multiplié par Donc P se reproduira multiplié par
et sa dérivée logarithmique -rj sera accrue de
2mTj 7 /• — 2T) - ^::=0.
Donc -p est une fonction elliptique aux périodes 2/no>i,
p// p/y Il en sera de même de -p-j -p- > • • • ? en vertu de la formule
récurrente
V^ d Pi^-» PH^-» P'
Posons maintenant
La transformée en z sera
du'*
EQUATIONS LINÉAIRES. 299
et si nous divisons par P, les coefficients seront des fonctions elliptiques aux périodes 217110^, 2ma>2, oit pt^pz^ ... admettent ces périodes.
D'ailleurs, l'intégrale générale 5 = ^ de cette équation est uniforme; les points critiques de >s = *^ sont : 1® les points
pour lesquels y et P sont tous deux de la forme
(a -4- 2m,(i>i -\- 2mj(o,)'*S,
S désignant une série de puissances entières; ces points seront donc des pôles pour z; 1'' si l'entier E est négatif, les
zéros de o- — > lesquels seront aussi des pôles pour z.
L'équation transformée appartiendra donc au type de jM. Picard, sauf que les périodes des coefficients ne seront plus 2(0f, 2(02, mais 2//ic0|, 2/no>2*
3oO TnOISlfeME PARTIR. — CHAPITRE III.
CIIAP[TRE IIL
