I. — Notions préliminaires
233. Tout système (Inéquations aux dérivées partielles F = o, F| = o, ... entre des variables indépendantes x^^ ..., Xn, des fonctions de ces variables Utj , . , y Um ^^ leurs dérivées jusqu^à l'ordre/? peut être remplacé par un système ne contenant que des dérivées partielles premières.
En effet, chacune des dérivées partielles d'ordre p^ qui figurent dans les équations, est, par définition, la dérivée première d'une des dérivées partielles d'ordre/? — i; celles-ci sont des dérivées premières de celles d'ordre /> — a, etc. Si donc nous prenons pour inconnues auxiliaires les dérivées partielles d'ordre <!/>> les équations F = o, F< = o, ... ne contiendront plus que des dérivées premières; et il en sera de même des équations qui définissent chacune de nos inconnues auxiliaires, et qui, jointes aux précédentes, constitueront un système évidemment équivalent au système primitif.
On peut donc se borner à considérer les systèmes d'équations simultanées aux dérivées partielles du premier ordre. Il est même permis de supposer que les dérivées partielles n\ figurent que linéairement, à la condition de joindre aux équations différentielles certaines conditions accessoires.
Soit en effet
Xj, . . . , Xfl j Ul, . . . ) liffg l X
àlt,n\
un semblable système. Prenons pour inconnues auxiliaires les dérivées partielles -t-^> •••> ;)-'-' ^^^ nous représente-
rons par/7||, ..., pmn* Le système donné équivaudra au suivant :
/ \ ' t ( JTj, . . • 1 ^;j î Wj, • • • } Ufn î /'lij • • • > p/nn) — ^i
D'ailleurs, pour que F, . . . soient identiquement nuls, il faut et il suffit : i° qu'ils s'annulent pour une valeur particulière Ç| de la variable ^i ; 2** que leurs dérivées par rapport à Xt soient nulles. Nous pourrons donc remplacer les équations (i) par les suivantes :
/o\ j *^('»t)'''> *^a 1^1} • • • > '^//» } Pll9 • • • » Pmn ) ^^ 0>
pour a:, ::rz $,, et
ÔF ÔF dF
(4) { ^ ÔF âpu . ^ ÔF dp,nn__.
Or les équations (u) et (4) forment un système d'équations linéaires, auquel il suffira de joindre les conditions accessoires (3).
Fi = o, ..., F/ 1=0
entre n variables indépendantes x^^ . . ., ^r^ et m fonctions
W|, . . ., Um sera en général incompatible, si le nombre i de
ses équations surpasse le nombre m des fonctions inconnues.
Supposons en effet que les équations données renferment
3o2 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
les dérivées partielles des fonctions u jusqu'à Tordre/?. Joignons à ces équations leurs dérivées partielles successives par rapport aux diverses variables indépendantes. Il arrivera nécessairement un moment où le nombre des équations obtenues surpassera celui des fonctions u et de leurs dérivées partielles qui y figurent. En effet, lorsque nous prenons les dé rivées partielles d'ordre A: des équations primitives, nous ob-
tenons «— ^ r équations nouvelles; d autre
part, nous introduisons comme nouvelles inconnues les dérivées partielles d'ordre p -{- k des fonctions w, dont le
nombre est m— ^ — ^- Le nombre sera
inférieur au précédent, dès que A* commencera à satisfaire à
l'inégalité
iZ> m
A partir de ce moment, le nombre des équations successivement obtenues croîtra plus vite que celui des inconnues et finira par le surpasser. Éliminant alors ces inconnues, on obtiendra une ou plusieurs relations <ï> = o, <I>, = o, ... entre les variables Xi^ • , , , Xn'y celles-ci étant indépendantes par hypothèse, on voit que les équations données seront incompatibles, à moins que <l>, <I>f , . . . ne soient identiquement nulsy ce qui donnera autant d'équations de condition nécessaires pour que les équations F| = o, ..., F/=o puissent subsister simultanément.
23S. On voit de la même manière qu'un système de m équations aux dérivées partielles
F, =1 o, . . . , Fm~o
entre x^, . . . , ;r« et /w fonctions Wj , , » . y Um peut en général être ramené à un système d'équations
* i o, *,r:rO,
ÉQUATIONS AUX Dl-RIVÉES PARTIKLLBS. 3o3
ne contenant plus qu'une seule fonction inconnue u^ ; car^ en joignant aux équations proposées leurs dérivées partielles successives, il arrivera un moment où le nombre des équations obtenues surpassera celui des fonctions U2j . • ., Um et de leurs dérivées partielles. L'élimination de ces inconnues donnera de nouvelles équations <> = o, ^i = o, . . , entre j:i, . . . , Xny M| et ses dérivées partielles.
