Considérons un système d'équations aux dérivées
partielles
entre les variables indépendantes x^, . , . , Xn et m fonctions Wi, • • • , Wmî et soit Ta Tordre des dérivées partielles les plus élevées de la fonction u^c dans ces équations. On pourra, en remplaçant Xt^ . .., Xft par de nouvelles variables indépendantes
Iyi = Cj I J^i 4- . . . -f- Cj ,1 JTf^ , . J^n -— - ^/il '^ï i" • • • ~T~ C,ifiX ,1^
choisir les constantes c, de telle sorte q^e chacune des dérivées -r— -S • • • > -:i — ^> • • • figure dans les équations trans-
formées.
En eflet, on aura
dx, -'dj. -^'df.
Chacune des dérivées partielles des fonctions M|, . . ., Um par rapport aux variables Xi, . . . , ^„ s'exprimera donc linéairement au moyen des dérivées partielles du même ordre prises par rapport aux nouvelles variables ^< > • • • ? J0<«
Posons, pour abréger,
L'une au moins des équations données , par exemple
Soi TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
Fi = o, contiendra des dérivées partielles d'ordre r^ de la fonction Ut ; soient
Poii...a„i /^a,...a„» • • •
dF ces dérivées partielles. La dérivée -^— sera de la forme
Go G2, . . . n'étant pas identiquement nuls et ne contenant, ainsi que Go, aucune dérivée de £/| d'ordre >► Ti. Transformons cette équation par la substitution (5); il
viendra
dF, ^F, ÔF,
R' étant linéaire par rapport aux dérivées partielles d'ordre Tf + I de la fonction i/|, autres que celle que nous avons mise en évidence.
Les autres dérivées d'ordre r< -f- 1 qui figurent dans l'expression de -~ donnent un résultat analogue.
On aura enfin
Fo, Fi, ... ne contenant les nouvelles dérivées partielles de W| que jusqu'à l'ordre r«.
On aura donc, pour transformée de -. — j l'expression dF, • dF,
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIBLLBS. 3o5
R ne contenant pas la dérivée ^ ' .. ^/ • D'ailleurs le coeilicient
de "T-y-i^f ne peut être identiquement nul; car, en Texprimant au moyen des anciennes variables x^ il devient
et comme G|, G2, ... ne sont pas identiquement nuls, il ne peut évidemment s'annuler que pour des valeurs particulières des constantes c. En ayant soin d'éviter ces valeurs, on voit que
contiendra la dérivée , r-t-i ^ ^® 9^^ serait évidemment impossible, si Fj ne contenait pas la dérivée -<-— •
237. Nous nous bornerons à considérer le cas où les équations transformées ont pour premiers membres des fonctions
distinctes des dérivées -\-— -> •••> -t-tt^* En les résolvant
par rapport à ces dérivées, nous pourrons mettre le système sous la forme normale
4>i, . . ., ^m étant des fonctions des variables indépendantes Xd •••î^/i,des (onctions U|, ..., Um et de leurs dérivées partielles jusqu'à Tordre Ti, . . ., r^ respectivement (celles de ces dérivées qui flgurent aux premiers membres étant exceptées).
Théorème. — Les quantités y ^^ ..., ynj Wi> •••> w^» •••î
> TL^-^ a — ' * •• qui figurent dans les fonctions ^1, ..., ^m
étant traitées comme des variables indépendantes, soit
J. — Cours» HT. 20
3o6 TROISIÈUE PARTIE. — CHAPITRE III.
a,, ...,«;,, èjjj..., . .., 6;jo..., . .., fca.a....» ••• un système quelconque de valeurs de ces variables aux environs duquel 4>,, — ^^ soient développables par la série de Taylor. Soient d^ autre part
rfe^ fonctions quelconques de y2y . . ., V;» développables par la série de Taylor aux environs du système de valeurs a^j ... 5 CLjfi, et telles en outre que Von ait en ce point
ri — ^oo... • • • » "^V»- ~ ^a,a....-
On pourra déterminer, et cela d^une seule manière, un système de /onctions Ut, . . ., Um des variables y^ , . . ., y„^ développahle par la série de Taylor aux environs du point ai, . . ., a^y et qui satisfasse aux équations (6) ainsi quaux conditions initiales suivantes :
âu^ . d^^-^^Ui
Cette proposition fondamentale est due à Cauchy. M*"" de Kowalewska en a donné une démonstration élégante, que nous allons reproduire.
238. Considérons tout d'abord le cas où les équations aux dérivées partielles proposées sont du premier ordre, linéaires et homogènes par rapport aux dérivées partielles, et ne contiennent pas les variables. indépendantes, de telle sorte que le système (6) se réduise à la forme
(8) ^^-y Gi,j^
(/nz I, 2. . . ., m; /: = I, 2, . . . , m; /= 2, . . ., aï), où les G sont des fonctions de W|, . . . , Um»
ÉQUATIONS At'X DÉRIVÉES PARTIELLES. Soj
L^énoncé du théorème général se réduira alors au suivant :
Soient b*^ . , ,^ b'^ un système de valeurs de Ux, . . ^ "m, aux environs duquel les fonctions G soient développables par la série de Taylor; at, ..., an d^ autres constantes quelconques. Soient^ d' autre part^ cp,, ..., ç^ des fonctions de y^j ..., //i, qui se réduisent respectivement à 6*, ..., é"* pour y^z= ai^ ..., jK/j= ««> ^^ yw* soient développables par La série de Taylor aux environs de ce système de valeurs. On pourra déterminer d^une seule manière un système de fonctions Ut, . . ., w« des variables y^^ . . ,, y„y dcveloppables par la série de Taylor aux environs du point y^z= a^^ , , ,, yfi=z ani qui satisfassent aux équations (8), et enfin se réduisent respectivement àot, ..., ^mpoury^-^a^^
Nous supposerons, pour simplifier l'écriture, que ai, ..., a„, é*, ..., 6"* soient nuls, ce qui ne nuit pas à la généralité de la démonstration, car on pourrait au besoin prendre pour variables indépendantes j>'« — ai, . . ., yn — ««et pour fonctions inconnues u^ — 6*, ..., Um. — 6'"; enfin, considérer à la place des fonctions (pi, ..., cp/» les fonctions Os — b\ ..., ^m— b'".
D'après les hypothèses faites, les fonctions G^^ sont développables en séries, de la forme
(9) Gl,.= ^Ai^i....«ï.w;^....
Ces séries étant convergentes tant que les modules de e/f . Uo', . .. seront assez petits, on pourra déterminer deux constantes M, r, telles que l'on ait
et, a fortiori,
On aura de même
'^^^^%.%-yM'->
3o8 TROISiftHE PARTIE. — CHAPITRE HI.
et 1*011 pourra déterminer deux constantes N, p, telles que Ton ait
(") |Bp.p...l< p,ip,i... ^»-;^:
Les fonctions cherchées w<, ..., Um^ devant être développa- Lies suivant les puissances de j^«, . . ., ^^ pour^< = o, seront de la l'orme
(12) «,. = çp,. -h <Pn 7, H- ©,., jî 4- . . . ,
?/i9 f/2} ••• étant des séries qni procèdent suivant les puissances de^2> •••i^/i«
Remplaçons, dans les équations (8), les fonctions G^^, puis les fonctions ui par les développements (9) et (12), et égalons les coefficients des mêmes puissances de j^i dans les deux membres; nous obtiendrons, pour dé terminer les coefficients ^iii " y ?/{i> " '1 une série d'équations de la forme suivante :
(ï3) (î^-+-09i,ïi+i — ^^i^-»-»»
Fi'tH-i étant une somme de termes dont chacun est le produit: 1° d'un entier positif; 2° d'un des coefBcients A ; 3° d'un produit de séries (p dont le second indice ne surpasse pas [jl; 4" d'une dérivée partielle de Tune de ces fonctions <p.
Les formules (i3) fourniront, par voie récurrente et sans ambiguïté, les valeurs des diverses fonctions cp/|i sous forme de séries procédant suivant les puissances de y2j ■••? J^n, chaque terme ayant pour coefficient un polynôme formé avec les coefficients A, H et dont chaque terme est affecté d'un facteur numérique positif.
Nous trouvons ainsi une solution unique; mais, pour prouver qu'elle est acceptable, il reste encore à établir la convergence des séries obtenues.
239. Or il est clair qu'on diminuera les chances de convergence en remplaçant les coefficients A, B par les limites supérieures (10) et Ti i) de leurs modules; mais nous allons
ÉQUATIONS AUX DÉRITÉE8 PABTIBLLES. SoQ
prouver que, même dans ces conditions défavorableSy la convergence subsiste lorsque j^i , . . . , J'» sont suffisamment petits. On a, en effet, dans ce cas,
(3f, -f- aj-f-...) ! ., w*»M*'-. . . M
et de même
en posant, pour abréger, y^-\- . . . 4- j>',i n^ /.
Les équations aux dérivées partielles deviendront donc
àfi" , «, -i- . . . -r- u,n Zàkj àyi
et les conditions initiales seront
(i5) "'~~I1"^ pourjj^^o.
Posons
Les équations (i4) et (i 5) se réduiront aux deux suivantes
(17) 4/= -- ^ pourjjino.
Or l'équation (16) étant mise sous la forme
son premier membre est le jacobien des deux fonctions i( et
f I ^ j t -r-Mm(n — I )yi . Elle équivaut donc à la rela-
tion
^T-^)^4-Mm(/i-i)j,r=F(4.),
F étant une fonction arbitraire. Cette fonction sera déterminée par la condition (17), laquelle donne
ou, en posant
~ — P, doù t=: T-.- >
OV
Donc <J^ sera déterminé par l'équation
Les deux racines de cette équation se réduisent respectîve-
ment à zéro et à — pour ^^4 :== o, / :— o. Aux environs de ce système de valeurs, elles sont développables en série convergente suivant les puissances de yt et de /. Prenant celle de ces deux séries qui s'annule pour y^ = o, t^^o, on aura la fonction cherchée ^(jKn ^)) dans laquelle on n'aura plus qu'à substituer t=y2~i-- • «-r-jK/i pour obtenir les développements de //,, . . . , w,«, qui seront évidemment convergents tant que les
modules des variables y seront moindres que > R désignant le rayon de convergence de la série A(^,, t) par rapport aux variables j^4 et t.
240. La démonstration du théorème général du n° 237 se ramène aisément au cas particulier que nous venons de discuter.
Prenons, en eflet, pour variables auxiliaires les dérivées partielles
qui figurent dans les équations (6) et, pour plus de symétrie, posons en outre Ui= />i.o,...« Les équations (6*) et (7) deviendront
(«9) />i..o.o.... = ?f ' pourVi~ai et «i < r,-.
Ces dernières équations, dérivées par rapport à r2, . . . , ^„, donneront plus généralement
(20) K.a,....««=^s7:j; ~^^ pour/jnrai et a,<r/
et, par suite,
/?a,.a,...,a« = ^i..a,....a„ pour Ji — a,, . . . , j^z^ a^,.
Enfin, si l'on pose j^j = ai dans les équations (18), il viendra
(21) A^r.,0.0,... = *i(«l»-Mrn,?i,..., J^^'— '••• 1 pou
r y — cil.
Aux équations (18), (19), (20), il faut encore joindre celles qui définissent les dérivées partielles /?a,,a, a„i ^ savoir
(22) — -j- --/>a,+ i,o,o...., SI ai<^^/
et
Les relations (20) et (21) expriment d'ailleurs que les équations (23) et (18) sont satisfaites pour ^4 = a,. En tenant compte de cette condition, on pourra évidemment remplacer ces équations (23) et (18) par leurs dérivées partielles par rapport à >'« .
On trouve ainsi, en supposant aj )> o par exemple, Si aa était nul, mais ol^ >> o, on trouverait de même
(23/ ^/^«i.O.g,... __ ^/^tt,-4^1.0.««-l. ••
et, enfin, si a2, . . . , a„, étaient nuls, d'où a„ >- o,
Prenant enfin la dérivée partielle des équations (i8) par rapport à^i, et substituant dans le second membre aux dérivées partielles des p leurs valeurs (22), (aS'), (aS''), ..., (23"), il viendra
ày, -ày,-^Zdpi,o o^"*"'"'"'
dp
2^ <^iyâ..o... ,a,
àVn
241. Nous avons ainsi remplacé le système des équations (6) et des conditions initiales (7) par celui des équa-^ tions (22), (23)', (23)", . . ., (23)'" et (24) et des conditions initiales (20), (21). Nos nouvelles équations sont du premier ordre et linéaires ; mais elles ne sont pas homogènes et contiennent encore en général les variables indépendantes yif . . .,^rt. Pour achever de les réduire à la forme voulue, introduisons de nouvelles variables auxiliaires ^1 , . . . , tn définies par les équations
Elles satisfont aux équations aux dérivées partielles
<^yx ày, dyt
£quàtions aux dérivées partielles. 3i3
cl aux conditions initiales
(26) ti — ai, ^î = /,, ..., ^, = J« pour 7, — a,.
Il est clair que ces conditions suffisent à les déterminer. Joignons ces conditions aux équations précédentes et transformons d'ailleurs celles-ci : i** en y remplaçant dans les dérivées partielles de O/ les variables indépendantes jKi, ...,JK« parles quantités équivalentes ^1, ..., tn] 2** en multipliant tous les termes des seconds membres qui n'ont pas en facteur
une dérivée partielle des inconnues p par ^ -' j qui est évidemment égal à I. Cette transformation opérée, les inconnues p et t seront fournies par un système d'équations linéaires et homogènes du premier ordre, auquel on devra joindre les conditions initiales (20), (21), (26) qui ont lieu
Les valeurs des variables tt, . . . , /« et /?â„a„. ..a» pour
jKi = <3E|, . . ., j';,= an sont d'ailleurs a<, . . . , a„ et &«,,«, 0,^.
Aux environs de ce système de valeurs, les fonctions ^i sont par hypothèse développables suivant la série de Taylor; il en sera de même de leurs dérivées partielles.
Toutes les conditions nécessaires à l'application du théorème du n** 238 se trouvant ainsi remplies, nous obtiendrons pour les inconnues t et />, et en particulier pour les inconnues primitives
des séries procédant suivant les puissances dej^i — ^i> • ••> j/n — ^/i 6l satisfaisant à toutes les conditions du problème. Les fonctions Ui ne sont définies par ces séries que dans la région où celles-ci sont convergentes; mais on pourra suivre leur variation de proche en proche par les mêmes procédés que nous avons employés pour l'étude des équations dilTérentielles à une seule variable indépendante.
3l4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
242. Considérons Téquation aux dérivées partielles linéaire et du premier ordre
(i) P,/?iH-...-hP„^„:^Z,
où P^, . . ., P„, Z sont des fonctions des variables indépendantes^!, ..., Xn et de la fonction inconnue 3; />,, ...,/?„
dz dz
désignant les dérivées partielles -r-^ > • • • j
La fonction z étant supposée définie par une équation implicite
cherchons à déterminer la forme de la fonction <[>, de telle sorte que l'équation (i) soit satisfaite.
L'équation (?/) dérivée par rapporta xi donnera
Substituant dans (r) les valeurs des dérivées partielles/?/ tirées des équations (3), il viendra
Pour que la valeur de z tirée de (2) satisfasse à l'équation (i), il sera donc nécessaire et suffisant que l'équation (4; soit une conséquence de (2).
Gela posé, intégrons le système des équations différentielles
dx^ dXn dz
Les équations intégrales, résolues par rapport aux constantes d'intégration C|, . . ., c^, prendront la forme
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÊKS PARTIELLES. 3l5
fi» •••) f/i étanl des fonctions de x^, , . ., x„y s. On sait (42) qu'en posant
F désignant une fonction arbitraire, Téquation (4) sera identiquement satisfaite.
Nous obtiendrons donc une solution de l'équation (i) en déterminant z par Péquation
F(?i, ■ • •,?«) voilais il n'est pas établi que cette solution soit la seule possible, car il n'est pas nécessaire, pour qu'on ait une solution, que Téquation (4) soit identique. Il suffit qu'elle soit satisfaite pour tous les systèmes de valeurs de x^j . . ., Xn^ 2 qui satisfont à 4> = o.
Pour déterminer les autres solutions, s'il en existe, nous remarquerons que les équations (5) ayant pour intégrales générales les équations (6), les équations (5) ou les équations équivalentes
P, dxx — Pi dx^ — o, . . . , Prt dx^ -- P, dx„ --^ o,
Z dx^ — IPydz^izo
sont des combinaisons linéaires des équations
On aura donc, en désignant par An, ...; B|, ... des fonctions de ^<, . . ., Xni z faciles à déterminer,
(7 ) Pfdxi^ Pi dxi= Ail d^ï H- . • . -''- ^in ^?/i>
(8) Z dx^— P^dz r=Bi cf©i +. . .-t- B,j d^^-
Multiplions les équations (7) respectivement par pi^ ...,
pij ... et retranchons-en l'équation (8). En tenant compte
de l'identité
dz =z pi dxi H- ... 4- p» dxn
et posant, pour abréger,
2^ ^ikPi— ^k — Cjt,
3l6 TROISIEME PARTIS. — CBAPITRE III.
il viendra
(P,/7|-h...4-P„/?„ Z)û?x, — \ Ckdof,.
Si nous supposons Téquation (i) satisfaite, cette équation se réduira à
C^rf'f*=o.
Si donc les quantités Q*k ne sont pas toutes nulles, les différentielles d'^\, ..., d'^n seront liées par une relation linéaire, et Ton aura entre les fonctions ^ une relation
C'est la solution trouvée tout à l'heure. Reste l'hypothèse
Lij "^^^ Oj • • • » ^k — 0> • • • •
Ces équations, combinées avec l'équation donnée
Pi/>i-+-..-+-P«/>«— Z,
déterminent />«, ,...pn^z en fonction de X|, ..., Xn» Les valeurs ainsi obtenues fourniront une solution si elles satisfont aux relations
dz
ce qui n'aura évidemment lieu que dans des cas très exceptionnels.
