Applications. — i® Soit à intégrer l'équation aux
dérivées partielles
âz dz
ôjc dy
des cylindres parallèles à la droite (^x = az^ y =^ bz). On
formera le système
dx dv ,
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 8x7
dont rintégrale générale est
X — a- = 6', y — ^3=:Ci.
L'équation proposée a donc pour intégrale générale
4>(j" — ûtw, r — bz) =1 o.
2"" Considérons Féquation aux dérivées partielles
des cônes ayant leur sommet au point a, p, y. On formera
le système
dr dv dz
x — % / — P - — If
dont rintégrale générale est
log(.r — a) =r^ ïog(^ — ï) -*" const., log(j; — P) = log(^ — y) -h const.
ou
=z const., " =l: const.
L'intégrale cherchée sera
\ -— ï - — 7/ 3° Considérons Téquation aux dérivées partielles
des surfaces de révolution autour de Taxe - = •--==- •
a (i Y Nous aurons le système
dx dv dz
ï/ — P^ dz — ^ix pj7 — aj Soit cf/ la valeur commune de ces rapports; on aura dx::={'^y — ^z)dt^ dyz=L{az — '^x)dt, dz:=z(^x — ay)dt.
3l8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
On en déduit immédiatement les combinaisons intégrables
X dx -\- y dy -h z dz =1 Of
a dx 4- P û(^ -f- 7 dz :=^o; d'où
x^ ~i- /* H- 5- = const, ax -\-^y -h •^z = const. , et l'intégrale cherchée sera
4" Soit, en dernier lieu, Péquation
dz âz
dx '^ dy *
qui définit les fonctions homogènes de degré n en x^ y. On
formera le système
dx dy dz
d'où
X y nz'
— = const., — rzz const.,
L'intégrale générale sera donc
ou, en résolvant par rapport à -^>
et enfin
244. Passons à l'étude des équations aux dérivées partielles du premier ordre en général. Soit
une équation entre n variables indépendantes Xt, . . . , x„j
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SlQ
une fonction z de ces variables et n constantes arbitraires ai , . . ., an' En éliminant ces constantes entre l'équation ^=o et ses dérivées partielles
nous obtiendrons, en général, une seule équation aux dérivées partielles
(II) ^{^,^u '"y^n'.Pu '",Pn)----0.
La fonction 5, définie par Téquation (9), sera une solution de cette équation, quelles que soient les constantes «1, ..., a„.
Une semblable solution a reçu le nom (V intégrale complète. II est aisé d'en déduire les autres solutions de Téquation aux dérivées partielles.
On pourra, en effet, dans cette dernière équation, faire abstraction de la condition que /?i, ...,/?„ soient les dérivées partielles de ^, pourvu qu'on y joigne la relation
(12) dz~PidXi-h, . .-{- pndxm
qui exprime précisément cette dernière propriété.
Gela posé, l'équation (11), résultant de l'élimination de au , , . ^ a,i entre les équations (9) et (10), sera algébriquement équivalente à celles-ci, pourvu qu'on y considère les a, non plus comme des constantes, mais comme des inconnues auxiliaires.
Nous aurons donc à déterminer les inconnues ^, aj, .. ., a,,, /?!, ... ^ pn par les équations (9), (10) et (12).
Cela posé, différentions l'équation (9), il viendra
-z- az -f- -r— aa?i -+-...+ -. — da* 4- ... -h ^ — da^ = o oz dx; da, da„
ou plus simplement, en vertu des équations (10) et (12), ( 1 3 ) -r — dax -+-...-+- ^ — dan = <>•
Cette nouvelle équation aux différentielles totales pourra
3aO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE 111.
remplacer Téqualion (12) pour la détermination des fonctions inconnues. Il existe plusieurs manières d'y satisfaire : 1" On peut d'abord poser
Ces n équations, jointes à (9) et (10), achèveront de déterminer une solution, à laquelle on donne le nom à^ intégrale singulière,
a° Si les -t — ne sont pas tous nuls, Téquation aux différentielles totales ( 1 3 ) montre qu'il doit exister au moins une équation de condition entre les inconnues ai, . . . , a^. Admettons qu'il en existe k distinctes, h savoir
(i4) /i — o, ..., fk — o.
On en déduira, entre les diflérentielles da^, . . . , dan, les A-
relations
(i/"j — o, ..., dfk-^o^
dont l'équation (i3) devra être une conséquence. On aura donc identiquement, en désignant par).|, . . . , X^ des facteurs convenables,
d'où, en égalant les coefficients des diverses différentielles c/a/,
^ ' dût dai dat
Ces équations, jointes au système (9), (10), (i4 )> détermineront toutes les inconnues du problème, y compris les multiplicateurs X. Les fonctions /i, ■ . • , /a restent d'ailleurs arbitraires.
Le système de ces solutions, renfermant des fonctions arbitraires, se nomme Yintégrale générale.
Si nous donnons, en particulier, à A: sa valeur maximum /i,
ÉQUATIOIfS AUX DÉBITÉES PARTIELLES. $21
les quantités a, étant liées par n équations, seront des constantes, d'ailleurs arbitraires. Nous retrouvons donc, comme cas particulier de l'intégrale générale^ l'intégrale complète d'où nous étions parti.
.On voit par cette analyse que la recherche des solutions d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre
(i6) F{z,Xi, .. .,x„;/?i, ...,^„) = o
se ramène à la détermination d'une intégrale complète.
Plusieurs méthodes ont été proposées pour arriver à cette intégration ; nous allons exposer les trois principales.
