Méthode des caractéristiques, — Posons, pour
abréger,
dF^ àF ^ àF __^
et soit
(17) ^ = *(^i, ...,^»), P^^ dXi
une solution quelconque de l'équation proposée. A chaque système de valeurs de Xi , . . . , jc,i correspondra un système de valeurs de z et de ses dérivées partielles/?!, . . . , />^.
Nous appellerons éléments de la solution considérée les divers systèmes de valeurs simultanées de Xi, . . . , Xn, Zj p%t ' - • f Pn <iui satisfont aux équations ( 1 7 )•
Soit -S®, xj, p^ l'un de ces éléments. Supposons qu'on fasse varier les quantités Xi à partir de leurs valeurs initiales jTy , de manière à satisfaire constamment aux équations différentielles
g^ dx* dcCj,
(l8) -p- =z:...=z:-p- =z:ûf/,
t désignant une variable auxiliaire, dont la valeur initiale soit nulle.
Les sj^stèmes de valeurs successifs de ces quantités, associés aux valeurs correspondantes des quantités 2, pt^ donne-
J. — Cours, m. ai
32a TROISIÈMB PARTIE. — CHAPITRE 111.
ront une suite d'éléments de l'intégrale, à laquelle nous donnerons le nom de caractéristique.
246. Soient^, j:,-,/>i' l'un de ces éléments; z -h 8>s, Xi-^- Sx,-, pi-\-^Pi un élément quelconque de Tiotégrale, infiniment voisin de celui-là. On aura, par définition,
(19) S« = pi 8^1 -h . . . -JfPn ô^«,
et, en désignant par/^i^ les dérivées secondes ^ — -r— >
(20) ^pi=pn^x^ H-...-f-p;^8j?„.
Soit z -h dz, Xi-hdxi, pi H- dpi un nouvel élément encore infiniment voisin du premier, mais situé sur la caractéristique; on aura de même
(21) dz =/?, rfjc, -h. . .-+-/>« dxnt
(22) dpi=zpiidXi-h,..-hptndjCn.
L'équation (i6), difiérentiée par rapport aux 8, donnera
Z5-C -h \ (X/ û.r; 4- Pt^pi) = o,
et, en remplaçant les quantités P/, 82, Bpi par leurs valeurs tirées des équations (18), (19), (20),
o=\ {Xt'hpiZ)^Xi-h\ \ Pi^'^^'^^'
Permutant les indices i et A: dans la somme double et tenant compte de l'équation (2a), il viendra
o=^^[x, + ;,Z + ^]sx,
et, comme les Sjt/ sont entièrement arbitraires, on en déduira
(23) X^ + /?;Z-h -^ = 0, {iz=zi, ...,n).
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIBLLKS. 3a3
Enfin la difTérentiation de Téquation (i 6) par rapport aux d donne
et, en remplaçant les dxi, dpi par leurs valeurs tirées de (i8) et (a3),
(a4) 0=1 dz — \ ViPidt.
Les éléments successifs de la caractéristique satisferont donc aux équations (18), (28), (24)) qui peuvent s'écrire
/o5^ ^:^'- - ^^^ - - ^^ ^dt
Ces équations différentielles, jointes à la connaissance des valeurs initiales ^®, ^/, p] des variables js, Xi^p^ déterminent complètement la loi de leur variation. Elles sont d'ailleurs indépendantes de la fonction ^. Nous obtenons donc ce résultat remarquable :
Toute intégrale qui contient Pélément ^", x]^ p] contiendra tous les éléments de la caractéristique correspondante.
S47. Les équations différentielles (aS), intégrées en partant du Sj^stème de valeurs initiales 2®, x]y />?, donneront, pour z^ Xij piy au moins tant que les quantités Z, X/, P/, n'auront pas de points critiques, des valeurs parfaitement
déterminées
Iz =/{t,z^,xhpî),
(26) Xi=:^i{t,z\xlp'i),
Ce système d'équations représentera une caractéristique pourvu que les valeurs z®, x% p^ satisfassent à l'équation
(27) F(50, a:?, ...,xlpl ...,/?J) = o,
qui caractérise les éléments des intégrales.
Les valeurs des variables Zj ^/, p/ correspondant ai x divers éléments des intégrales sont ainsi exprimées en fonction des 2/1+ a paramètres t^z^, ^'nPh ^^^ derniers vérifiant l'équation (27).
En laissant z^, x^^ p] constants et faisant varier t^ on obtiendra une infinité d'éléments formant une caractéristique. On doit toutefois excepter le cas où les valeurs de 2®, x]^, />" annuleraient simultanément toutes les quantités P/, X|'+ j9/Z, car les intégrales des équations (aS)^ se réduisant alors à
Z:=:.Zy Xi-=.Xiy piz=zp^^
seraient indépendantes de t^ et la caractéristique se réduirait à son élément initial.
Enfin, en faisant varier 2®, x\^ p\^ on passera d'une caractéristique à l'autre.
Soit maintenant
(28) -^^C-a?!, ...,^,.), P^^'dJ.
une intégrale quelconque. Pour qu'elle contienne un élément donné 2, a?/, /?i, il faut et il suffit qu'elle contienne l'élément initial z^j x^, p] situé sur la même caractéristique, ce qui donne les équations de condition
Ces 71 + I équations, jointes aux équations (26) et (27), caractériseront les éléments qui appartiennent à l'intégrale. On retrouvera donc les équations (28) de l'intégrale en éliminant les paramètres t, z^^ xj, p^ entre les équations (26),
248. Réciproquement, considérons l'ensemble des caractéristiques pour lesquelles les paramètres 2®, x^y p^ sont liés par n + I équations de condition quelconques
(3o) njnro, ..., cj;, zz: o.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 3a5
Entre ces équations et les équations (26) et (27), on pourra éliminer les paramètres z^, ^?, /)f , ^, et Ton obtiendra ainsi, entre les variables z^ ^r,-, /?/, n 4- i équations,
d^où Ton pourra tirer en général les valeurs de z et des pi en fonction des Xi.
Le système des éléments qui satisfont à ces équations constituera une intégrale si les valeurs ainsi obtenues satisfont aux relations suivantes :
(3i) F(5; a:,, ..., j?„; Pi, ...,/>«) = 0
et
2i9. L'équation (3i) est identiquement satisfaite. Soit on cflct, Zj Xij Pi un élément quelconque du système considéré.
En donnant aux paramètres t et z^j x^ , p^ des accroissements infiniment petits, dt et Bz^, Sx^^, S/7^% ces derniers compatibles avec les équations (27) et (3o), on obtiendra un élément z -h As, Xi-\- A^/, /?/-}- A^/ infiniment voisin du premier, et les différenlielles totales As, Aj?/, A/?/ seront évidemment de la forme dz-\-Zz^ dxi-{-Bxi, dpi-\-Bpi^ en désignant par dz^dxij dpiles différentielles partielles provenant de la variation de t, par Sz, Zxi, hpi celles qui proviennent de la variation des autres paramètres, js^, x^ , p\.
Les différentielles dz^ dxi^ dpi satisfont aux équations (25), d'où l'on déduit aisément les combinaisons suivantes
(33) dz—\ pidxi = o,
(34) o = Z c?5 -+- \ (Xidxi -i- P/ dpi) = -^~dt.
Donc F est indépendant de t. D'ailleurs, pour £ = o, il se
326 TROISlbME PARTIE. — CHAPITRE III«
réduit à
r(Z } ^li » » 'i ^ni Pli • ' 'J Pa/i
qui est nul en vertu de l'équation de condition (27).
250. Il reste encore à satisfaire aux équations (32 ). Ce système d'équations est équivalent à l'équation aux difTérentielles totales
As — y Pi Ax/ = o.
Remplaçant Az, A^ipar^f^ + Sjs, dxi+ Zxi, et tenant compte de (33), cette égalité se change en
85 — \ pi 8j7/ = o.
Désignons par U le premier membre de cette équation, et cherchons comment il varie avec t»
On aura
d\J=^d^z — \ dpilxi — \ pidlxi;
d'ailleurs
dlz'=.hdz-=\ (Ipidxt-^ pidlxi).
Donc
dl} = \ ( ^Pi dxi — dpi ^Xi )
ou, en remplaçant les dxi^ dpi par leurs valeurs tirées des équations (aS),
c/U=y {Ft^pi'^Xi^Xi'^Zpt^Xt)dt; mais l'équation F = o, difTérentiée par rapport aux t, donne
d'où
cfU=— z/^83— y pi^xi\dc = ^ZUdi.
ÉQUATIONS AUX DÉRITÉBS PARTIELLES. Sof^
Celte équation intégrée donnera
- / Zdt
Do désignant la valeur initiale de U.
Il est clair que, tant que Z n'aura pas de points critiques, comme nous Tavons supposé, l'exponentielle restera finie. Donc, pour que U soit identiquement nul, il sera nécessaire et suffisant qu'on ait
(35) o = Uo = 85^ — y pf Sx?.
251 . Les solutions de cette équation aux diflTérenti elles to* taies se trouvent aisément par la méthode du n^ 2i4.
Cette équation montre d'abord que z^ est une fonction des X®. D'ailleurs, les a« -h i quantités ;5®, x^, p] étant liées par l'équation F = o et les /i + i relations (3o), dont nous cher chons à déterminer la forme, il existera une relation au moins entre les quantités o;^. Supposons qu'il en existe k distinctes, telles que
(36) ^,{x\y...,x%) = o, ..., Vit = o,
et soit en outre
(37) z^z=:yp{x\,...,xl).
On déduira de ces relations par la difFérentiation
8v, = o, ..., 8^A = o, 8so = 8^-
L'équation (35) devant être une conséquence de celles-là, on aura identiquement
Uo = 8V — y />? Sx? = X, 8V, -H. . .-+- X;fc8v*,
les \ étant des multiplicateurs convenables. Égalant séparément à zéro les coefficients des diverses différentielles tx\
3^8 TROISibiB PARTiB. — CHiPITRB III.
on aura les n équations
quî, jointes aux équations (^6), (27), (36), (37), représenteront rintégrale, les fonctions ^, ^*|, . . ., W/^ restant arbitraires.
252. La solution précédente donne lieu à diverses remarques :
i^ Le système d'éléments déterminé par les équations précédentes ne représente une intégrale, dans le sens attaché jusqu'ici à ce mot, que si Ton peut en tirer les valeurs expliciles des quantités z, pi en fonction des ^/, ceux-ci restant indépendants. Il n'en serait pas ainsi dans le cas particulier où Ton pourrait déduire de ces équations une ou plusieurs relations entre les Xi. La considération de ces systèmes, qui ne fournissent pas des intégrales proprement dites, est pourtant utile dans beaucoup de cas. Pour en tenir compte, il conviendra d'élargir la définition de l'intégrale en donnant ce nom à tout système d'éléments z, xij pt dépendant de n variables indépendantes et satisfaisant aux relations
F = O, dz:=: Pi dx^ -+-,,, -h Pn ^^n
2° Nous avons admis dans notre analyse que le système des valeurs initiales <s®, x^ ^ p^ représentait un point ordinaire pour les fonctions Z, X/, Pi et n'annulait pas simultanément les quantités P/, X/-I-/7/Z. S'il existait donc quelque intégrale dont tous les éléments fussent des points critiques de Tj, X|, P| ou annulassent les P/ et les X|* -|- />jZ, elles échapperaient à la méthode précédente; mais il est clair que ces intégrales singulières ne peuvent se rencontrer que dans des cas particuliers.
"^ j 253- Parmi les intégrales fournies par notre analyse, il en
est deux qui méritent une attention particulière.
La première s'obtient en posant k = n. Les quantités js®, x^j satisfaisant ainsi à n + i relations, seront des constantes; leurs différentielles 82®, Zx^ seront donc nulles et l'équation (35) sera identiquement satisfaite.
On voit donc que les équations (26), (27) de la caractéristique représentent une intégrale si Ton y considère les z^j x^ comme des constantes arbitraires et les p^ comme des inconnues auxiliaires.
L'intégrale ainsi obtenue est une intégrale complète, car elle contient n (et même n-f-i) constantes arbitraires. D'antre part, on ne peut déduire des équations qui la définissent aucune équation aux dérivées partielles
distincte de la proposée F = o ; car, si l'on avait une semblable identité^ en y faisant / = o, on trouverait
relation qui ne résulte pas des équations (a6), (27)-
254. On obtiendra une autre intégrale remarquable en admettant qu'il n'existe entre les paramètres ^^, x^^ que les deux relations
(39) -z^=«ï'(j?;,...,^J), a?; = const.
Les autres équations à joindre à celles de la caractéristique pour obtenir l'intégrale seront, d'après l'analyse précédente,
Pourlavaleurparticulière^« = ^J, on aura/ = o, a?a = a:J,..., z = z^. Ces valeurs initiales étant liées par la relation {'ig)^ on voit que nous avons résolu le problème de déterminer une intégrale z satisfaisant à la condition
z = V(art, . . . , Xn) pour Xi = x\f
33o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
W désignant une fonction arbitraire. L'existence d'une semblable intégrale avait déjà été établie au n"^ 235.
255. Lorsque le nombre des variables indépendantes se réduit à deux, les résultats qui précèdent peuvent s'interpréter géométriquement.
Une intégrale ^ = O (a?i , X2) représente une surface. Chaque système de valeurs de z, Xt, x^ représente un point; /?|, p^ sont les coefficients de l'équation du plan tangent.* Chaque élément de l'intégrale définit donc un point et le plan tangent correspondant.
L'équation aux dérivées partielles
devient, en y remplaçant p^ , p^ par leurs valeurs tirées des équations de la normale,
M — ^i Sî — X^ ^ — Z
F|^2,^i,^., --ç-:^^. --ç3ryj = o,
équation d'un cône, dont la normale sera une génératrice.
Une caractéristique représentera une courbe et la développable circonscrite à la surface intégrale le long de cette courbe, et le théorème du n^ 246 pourra s'énoncer ainsi :
Deux surfaces intégrales tangentes en un point z^^ x\^ x\ sont tangentes tout le long de la caractéristique déterminée par ce point et le plan tangent correspondant.
Toute surface intégrale aura pour génératrices des caractéristiques. En particulier, l'intégrale complète du n^ 253 sera formée par l'ensemble des caractéristiques issues d^un même point.
256. Première méthode de Jacobi. — Soit à déterminer une intégrale complète de l'équation
ÉQUATIOrVS AGX DÉRIVÉES PARTIELLES. 33 1
On peut réduire le problème au cas où z ne figure pas explicitement dans l'équation.
Supposons en effet z déterminé par Péquation
On en déduira
Substituant les valeurs de ^i , . . ., p„ ainsi obtenues dans (4o), il viendra
(43) ¥=z^(zyXi, ...,a?«.
dY dY dY\
dz' dx, ' dxj
Si donc nous déterminons une fonction V des n -j- 1 variables z^ Xi^ .••, Xfi qui satisfasse identiquement à cette équation (laquelle ne contient pas V explicitement), on obtiendra une solution de Téquation primitive en déterminant z
par l'équation
Si d'ailleurs la solution V que l'on a trouvée contient n
constantes arbitraires &«, . . . , b^ de telle sorte que le jaco-
ôY bien J des quantités ^ — par rapport à ces constantes ne soit
pas nul, la valeur de z sera une intégrale complète de l'équation primitive; car, d'une part, elle contient n constantes arbitraires et, d'autre part, le jacobien J| des quantités
"Â ^P*^ T~ P^^ rapport aux constantes b ne sera pas identiquement nul ; car, en y donnant aux quantités pi les valeurs particulières o, il se réduit à J. Donc on pourra tirer des équations (4^) ^^^ valeurs des constantes pour les substituer dans (40' ^^ ^^ fournira une seule équation F = o.
