L'équation <> = o étant résolue, pour plus de sim
dY plicité, par rapport à -771 prendra la forme
///N àY ^„/ dY dY\
dz ' "V*-"--"^'*'da7/ ' dxj
33a TROISiftMR PARTIE. — CHAPITRE III.
Désignons par H ce que devient le second terme de cette
équation lorsqu'on y remplace les dérivées partielles ^ par
des indéterminées/?/; et formons les équations différentielles ordinaires
^ dz ~^ dpi^ dz dxi
Nous allons établir que la détermination d'une solution V de Téquation (44) satisfaisant aux conditions requises et l'intégration du système canonique (45) sont deux problèmes entièrement équivalents.
S58. Supposons, en effet, qu'on ait obtenu la solution demandée
Les équations
où les ai désignent de nouvelles constantes arbitraires, seront l'intégrale générale du système (45)*
En effet, les équations (46), différentiées par rapport à la variable indépendante z, donnent
d«V V <*'V dx^ dpi
dxi dz j^k àx( dxfc dz dz
(47) \ ^«v y a«V dxk
âbi dz ^k db( dxk dz
Mais, d'autre part, en remplaçant dans l'identité (44) l^s ^— par leurs valeurs pi^ elle deviendra
et, en prenant les dérivées partielles, par rapport aux Xi et
ÉQUATIONS AUX BÉRITÉBS PARTIKLLB8. 333
aux bif on trouvera
^ ^ <^^V V àW dpk
dbidz ^kàpk àbi u ^ailleurs on a
dni, __ d^y dpk__ d^y
ÔJL'i ôxi dxje dbi dbi dx^
Substituons ces valeurs dans les équations (48) et retranchons ensuite chacune déciles de sa correspondante du système (47j); il viendra
Y à^y (dxi, ^\ dpi d\\ ^kàxidxfe \ dz dpk) dz dxt
Zjk àbi dxk \ dz dpk) "
Ces équations sont linéaires et homogènes par rapport
aux quantités —r^ — -r — > -^ + -^ — • D'ailleurs le détermi- * dz dpk dz oxf
nant des coeflicients n'est autre chose que le jacobien J des
dy
dérivées partielles -r — par rapport à 6,, ..., 6^, lequel, par
OXk
hypothèse, n'est pas nul. Nous obtenons donc, comme conséquence des équations (4^)) ^^ système d'équations diiTé-
rentielles
dxk ô\l dpi àH
dz dpk dz axt
qui n^est autre que le système (4^)*
259. Réciproquement, supposons que par un procédé quelconque nous ayons réussi à obtenir une intégrale générale des équations (45). Elle fournira les valeurs des Xi, pi
en fonction de j3 et de a/i constantes arbitraires C|, . .., c^n* Soient d'ailleurs a,-, bi les valeurs des ar,-, pi pour une valeur initiale donnée z^ de la variable z. On pourra déterminer les constantes c au moyen des ai, bi. Substituant ces valeurs dans les équations intégrales, celles-ci prendront la forme
(5o) pt = f^t{z, ûT,, . . . , a„, 6,, . . . , bn)i
où les a/, 6|' peuvent être considérés comme de nouvelles constantes arbitraires.
Le jacobîen I des fonctions // par rapport à a^ . . . , an n'est pas identiquement nul; car, pour la valeur particulière z = z^^/i se réduisant à a/, I aura pour valeur Tunité.
Les équations (49) peuvent donc être résolues par rapport aux ai et fourniront les valeurs de ces quantités en fonction des z, Xi, bi. Il résulte de là que toute fonction des quantités z, Xi, pi^ ai, bi peut s'exprimer à volonté, soit par les j3, aif bi seulement, soit par les z, Xi, bi.
