Cela posé, désignons par U ce que devient la quantité

lorsqu'on l'exprime au moyen de ^, at, bi] et considérons l'expression

V=\ a^cbk-^ f Vdz.

Changeons simultanément z en z-\-dz^ et a/, bi en a/+ 8(2|, 6/ -H 86/; Xi sera accru de la quantité

dont nous représenterons respectivement les deux termes par dxi, 8:r /;/?,' et V éprouveront des accroissements analogues

\pi=:dpi-+'^Pi,

fiQUÀTIONS AUX DÉRITÉES PARTIELLES. 335

(5i) AV=rfV-+-8Vn:U€/3+y {ak^bk + bkUi)-\- Ç llidz.

Or on a

ou, en supprimant les termes qui se détruisent et remplaçant ^ — > -^ — par leurs valeurs tirées des équations diiTérentîelles (45)

D'ailleurs

où

/ h\}dz — y\ Pk ^^k\^^^S Pk o^A— y ^/. 8a*. D'autre part,

Substituant ces valeurs dans (5i), il viendra

AV— \ {pkdxk-^Pk^^k-^-ak^bk)'-lldz = \ {pk ^Xk -h ttk Ibk) — II ds.

Celte relation entre les différentielles totales AV, Ajta, 86a, dz montre que, si Ton exprime V en fonction des variables z^ Xki b/tf on aura

Les équations (Sa) donnent, entre les variables z^ x/t, pk et les constantes a^, 6^» ^^ relations nécessairement distinctes; car chacune d'elles contient dans son second membre une quantité p on a qui ne figure pas dans les autres. Ces équations ne sont donc autre chose que le système des équations intégrales (49) et (5o) mises sous une forme nouvelle.

Quant à Péquation (53), elle se transforme, lorsqu'on y

remplace les /^^ qui figurent dans H par leurs valeurs^ — ,

en l'équation aux dérivées partielles (44)-

La solution V que nous avons ainsi obtenue pour celte équation satisfait aux conditions requises; car elle contient n constantes arbitraires 6|, . . ., bny et d'autre part le

jacobien J des dérivées -r— par rapport à ces constantes n'est

pas identiquement nul; car, en donnant à z la valeur parti-

culière z^^ -c — =/?* se réduisant à 6a, J sera égal à l'unité.

On voit immédiatement que si, à la solution V que nous venons de trouver, on ajoute une nouvelle constante arbitraire a, on aura une nouvelle solution V H- a à n-\- i constantes arbitraires, et qui sera une solution complète de (44)-

261 . Nouvelle méthode de Jacobi et Mayer, — Les deux méthodes précédentes pour l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre ont pour caractère commun de ramener le problème à l'intégration complète d'un système d'équations aux différenlielles ordinaires.

Jacobi a donné une nouvelle méthode, considérablement

perfectionnée depuis par MM. Lie et Mayer, dans laquelle on considère successivement une série de systèmes d'équations différentielles, dans chacun desquels il suffit de déterminer une seule intégrale. Cette méthode s'applique d'ailleurs sans difficulté, ainsi que nous allons le voir, à la recherche des solutions communes à plusieurs équations aux dérivées partielles simultanées.

Soient

(54) F,(arj, ..., a:„, /?,,..., />„) = o, ..., F;„=:o

ces équations, où nous supposerons pour plus de simplicité qu'on ait fait disparaître la fonction inconnue par Tartifice du n® 236. Pour que ces équations aient une solution commune, il faut et il suffit qu'on puisse déterminer des fonctions Pi des variables indépendantes xi^ qui satisfassent à la fois à ces équations et aux relations

<55) ^PL^p,

qui expriment que p^ dxs +. • • 4- />// <^^J^w est une différentielle exacte; car l'intégration de cette différentielle donnera immédiatement la valeur correspondante de z,

262» Soient Fa = o, Fp = o deux quelconques des équations données. Prenons la dérivée de la première par rapport à Xi\ il viendra

àxi Zdk àj»k àxi Multipliant par -^ et sommant par rapport à i, il vient

2ji dxi dpi ZàiZdk àpi dpk àxi On trouvera de même, en permutant a et ^,

Zài àxi dpi Zji Zuk àpi dpk àXi

J. — Cours y III. a a

Retranchons cette équation de la précédente après avoir permuté les indices de sommation i et k dans la somme double; il vient

gg . Zdi\àj:'i dpi dxi dpi)

2^i2ukàpi ôpk\dxi dxk)

Mais la somme double s'annule en vertu des équations (55). On aura donc simplement

„V (dVaOl'^ <?Fp<)F«\ .pp.,

A^insî, des équations primitives F| = o, . . ., F;;j= o, jointes aux conditions (55), on déduit entre les Xi^ pi de nouvelles relations

(Fa, Fp)r=o.

Si parmi ces équations il en est qui ne soient pas une conséquence algébrique des équations (54)> on pourra les leur adjoindre, recommencer les mêmes opérations sur le système ainsi complété, et ainsi de suite. On arrivera finalement, soit à un système contenant plus de n équations distinctes, auquel cas le problème sera impossible, soit à un système

(57) Fi = o, ..., F^=o,

tel que les équations nouvelles (Fa, Fp)= o qui s'en déduisent, ou soient identiquement satisfaites, ou soient, tout au moins, une conséquence algébrique des précédentes.

Lorsque cette dernière circonstance se présente, elle pourrait donner lieu à quelque incertitude. Pour la lever, résolvons les équations (57) par rapport à [jl des quantités /> qui y figurent; elles prendront la forme

Les nouvelles équations

(/>« — /a, /'.s— yp) = o,

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SSg

qui se déduisent de celles-là, ne contiennent plus/?], .. •^ pa] elles ne peuvent donc être une conséquence des équations précédentes. Elles fourniront donc des relations nouvelles, qui permettront de continuer la série de nos opérations, à moins qu'elles ne soient identiquement satisfaites.

Nous arriverons donc nécessairement, ou à constater l'impossibilité du problème, ou à former un système

(57) Fi=:o, ..., Fj,= o, jouissant de la propriété qu'on ail identiquement

(58) (F«,Fp) = o.

Un semblable système a reçu le nom de système complet.

Une équation unique F4 = o peut être considérée comme constituant un cas particulier des systèmes complets, correspondant à |x = I.

263. Étant donné, en général, un système complet tel que (5^), cherchons à déterminer une nouvelle équation

qui, jointe aux précédentes, forme encore un système complet.

Le premier membre de cette nouvelle équation devra satisfaire aux [JL équations simultanées aux dérivées partielles

(59) o=(^, F«)=2,U:i^ Wi "■ Wi à^ir

Ces équations linéaires forment un système jacobien, d'après la définition du n® 63.

En effet, on a

Zji\àxi dpi dpi dxi) ZàkXàxk dpk dpk àjCf,)^ ZâiKàXi àpi dpi dxi) 2uk\àxk dpk àpk dx^)^

34o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.

en posant, pour abréger,

dxi dpidpk dpi dxidpk [ ^ /p p x dj?i- dpidpk dpi ôxidpk

'Y 1 ^•^' àpidxk ôpi dxidxk \ j3 p p

dj7, àpidxk dpi dxidxk

Mais (FoE, Fp) est identiquement nul; donc les A^, B^sont nuls, et notre proposition est démontrée.

Le système (Sp) admet donc des solutions et son intégration se ramène à celle d'une seule équation linéaire aux dérivées partielles à a/i — [x variables, ou, ce qui revient au même, à l'intégration d'un système de in — [/.équations linéaires ordinaires. On connaît d'ailleurs [x solutions du système, à savoir F^, . . . , ¥^. L'ordre du système s'abaisse donc encore de |x unités et se réduit à a/i — 2 [x.

264. Supposons qu'on en ait trouvé une intégrale (pi, laquelle, en tant que fonction des p^ soit distincte de F{, . . . , F(A. 11 est clair qu'on peut y ajouter une constante arbitraire ai, sans cesser d'avoir une intégrale. Donc le système

sera complet.

On déterminera de même une nouvelle équation çj-j-a2=o contenant une constante arbitraire a^ et formant avec les précédentes un système complet, en trouvant une intégrale d'un système d'équations différentielles d'ordre 2/1 — 2 [x — 2, et l'on continuera de même jusqu'à ce qu'on ait obtenu un système complet

Fj=ZO, ..., F||.=x:o,

fiQUÀTIONS AUX DÊRIYÊfS PARTIBLLE9. 34 1

Les valeurs des /?/, fournies par ce système, rendront pxdx^-^, . .+ pndxn différentielle exacte; car, en tenani compte des relations (Fa, Fp) = o, les équations (56) se réduiront à

ZdiAJk àpi dpk \dxi dxk)

Le déterminant R des quantités -r-^ n'est pas nul, car nous

avons opéré de telle sorte que les F^ , . • . , ¥n fussent des fonctions distinctes des/>/; donc les quantités

y dV^fdpk dpi\

que ces coefficients multiplient seront nulles. D'ailleurs le

déterminant des coefficients -7-^ est encore égal à R et dif-

dpk °

férent de zéro. On aura donc

àpk àpi __ ^ dx, ôxk '

ce qu'il fallait démontrer.

265. Les quantités /?«, ..,^pn étant déterminées par les équations Fj = o, . . . , F,^ = o, il ne restera plus qu'à intégrer la différentielle exacte /7| dx^ 4-. . .-h /?„ dxn. On trouvera ainsi

s = 4;(^,, ...,a:„;a,, .. ., a;,pt) -f- «,

a étant une nouvelle constante arbitraire.

Nous obtenons de cette manière une solution du système des équations aux dérivées partielles F4 = o, . . . , F^ = o, contenant n — [i. + i constantes arbitraires, et qu'on pourra appeler une solution complète du système.

En prenant les dérivées partielles de z par rapport aux diverses variables X| , . , ., Xn^ on obtiendra les équations

34^ TROISifcllB PARTIE. — GUAPITRR III.

manifestement équivalentes aux équations

F| =zo, . . . , Fj4 = o,

De cette solution complète on déduira immédiatement toutes les solutions du système

(60) Fi=o, ..., F^ = o.

En effet, soient z une semblable solution; /?|, ..., p^ ses dérivées partielles; enfin a\y . . . , cin^^^ ^ des inconnues auxiliaires, déterminées par les relations

On aura, en différentiant cette dernière équation,

(62) dz^=i -r ^J7i-4-. . .H- ;r ^X;» -h — L-^ia, -+-. . . -+- rfx — O.

D'ailleurs, des équations (60) et (61), on déduit

et, comme

dz -=z pi d.Vi -4- ...-+-/? ,4 dXfi,

l'équation de condition (rta) se réduira à

(63) -x^ day -H . . . -+- -. — '— da^^^ -4- ^a = o.

Cette équation aux différentielles totales s'intégrera comme au n° 2i4.

266. Il existe une classe particulière d'équations aux dérivées partielles auxquelles on peut étendre la méthode d'intégration par différentiation exposée au n** 34 pour les équations différentielles ordinaires.

Soient, en effet, Z, X|, . . . , X,,, P|, ..., P^, p des fonc-

fiQUATIONS AUX DÉaiTÉBS PARTIELLES. 343

tîons des 2 /i -h- 1 variables 2,^1, > > », ^ny Pn ■ * • » Pny satisfaisant identiquement à la relation

Supposons que, les variables o^o •••7 ^n restant indépendantes, on pose

Pi=x:r» •'•» /^» =

et qu'on veuille déterminer z par Téquation

Zm o,

on aura là une équation aux dérivées partielles du premier ordre qu'il s'agit d'intégrer. En la diiTérentiant, on aura

et, en tirant la valeur de dZà de l'identité (64) et remarquant qu'on a par hypothèse

dz =r p^ dxi -h ... -h pf^ dx^j

il viendra

P, t/Xj + . . . -4- P„ dX„ = o.

On pourra satisfaire à cette équation aux différentielles totales :

i^ Ou bien en posant

ces équations, jointes à Z = o, détermineront une intégrale singulière ;

2^ Ou bien en posant entre les X un certain nombre d'équations de condition

qui, jointes aux suivantes,

et à Téqaation Z= o, fourniront une intégrale générale.

Pour trouver la forme générale des équations aux dérivées partielles du premier ordre auxquelles la méthode précédente est applicable, nous aurons à déterminer, par le procédé qui a déjà été exposé plusieurs fois, la forme générale des fonctions Z, X/, P|', p qui satisfont à Téquation aux différentielles totales (64)-

267. L*équation aux différentielles totales (64) équivaut évidemment au système des équations suivantes aux dérivées partielles

* dx, = - P'^"

Opi

Ces équations peuvent être remplacées par d'autres, d'une forme très remarquable, et que nous allons établir.

Nous désignerons, pour abréger, par -z — l'opération ■z \-pi-TZ9 et par le symbole [UV] l'expression

^i\dpi dxi dpi dxi) A. la place des équations (66), on peut écrire les suivantes

qui s'en déduisent, en y ajoutant la première équation multipliée par /?/•

ÉQUATIONS AUX DfiRIVÊBS PARTIBLLBS. 345

Cela posé, donnons aux variables indépendantes z, ^/, pi deux systèmes distincts d'accroissements infiniment petits dz, dxi, dpi et Ss, Sj?j, 8/>i, satisfaisant aux relations

( 69 ) dz-=z\ Pi dxi^ Sx? = \ Pi dxi.

Soient (iZ, rfX,-, </P| el5Z, SX/, SP/Ies différentielles correspondantes de Z, X|, Pi.

LMdentité

dZ — VP/ ^/ = P ( c?5 — y Pi dxA ,

différentiée par rapport aux 8, donnera, en tenant compte de {%),

8 dL — y (8P/ tfX/+ P, 8 ^X,)

=: p 8 d/^ — \ ( 8/>/ e/j7/ -h /?/ 8 dxi) .

Permutant les d avec les 8 et retranchant la nouvelle équalion ainsi obtenue de la précédente, il viendra

(70) y (ûfP/oX/— e/Xi8P/) = py {dpilxi^dxilpi). Or on a, d'après la relation (69),

de même

Substituons ces valeurs dans l'identité (70) et égalons séparément à zéro les coefficients des diverses différentielles

rf/?A, dxk^ il viendra

d'où, en changeant les S en cf et résolvant par rapport aux quantités dx^i dp^^

dxi.'=:

jS/-^^"".

IdPi

- -^^ dP àpk

dXi

^—iiia-'-s-')-

Ces équations doivent être identiques à celles que l'on obtiendrait en résolvant les équations (71), (72) par rapport aux dxk^ dpk* Les deux déterminants

dXj dx

dPi^ dxk

I à?j P àpk

I dPj 9 dxk

àpk

1 ^^ ? àpi

I ^X p dx

satisfont donc à la relation AA| = i .

Mais, d'autre part, si dans A| on permute les n premières lignes avec les n dernières, puis les n premières colonnes

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PABTIlîLLES. 347

%vec les n dernières, si l'on fait sortir du déterminant les fao

leurs - et — i, communs à une même ligne ou à une même

colonne, et enfin, si Ton permute les lignes avec les colonnes, il viendra

De cette équation , combinée avec la précédente, on déduit

Donc, si p n'est pas nul, A sera différent de zéro. On en déduit que les fonctions Z, X/, P/ sont indépen* dan tes. Considérons en effet leur jacobien

dZ dZ

dxi

dX,

dx^

dPn

dz dxi

dZ àpn âX,

àpn

En aljoutant aux colonnes de rang 2, . . . , /i -4- 1 la première colonne, respectivement multipliée par />«, . . .,/?/<, on

aura

dZ dZ dZ

OPn

J = dz dXi ôpn

àPn

dxi

dX,

dxi

dP„

dPn

dz dxi

Retranchons de la première ligne les n suivantes, respectivement multipliées par P|, • . • , P;, ; il viendra, en vertu des

348 TROISifeXB PASTIE. — CHAPITRE III.

équations (65), (67), (68),

Donc J n'est pas nul.

P dz

dpn

= pA=itp"+^

268. Soit maintenant u une fonction quelconque de z^ x/, Pi, On aura

ji^k dXf, ôpk

ou, en substituant pour dxky dpk les valeurs (73),

Faisons en particulier 11 = Xjt, puis a = P^^; il ^nendra

prfX,.=^^([P,X^]6fX,— [X,X;t]^/), p^;t=^^([P|P*]^/-[X,P;t]^/).

Les difTérentielles d^iy dPi étant indépendantes, ces équations devront être identiques ; on en déduit

[P,X,]=p, [PyX*] = 0.

Faisons enfin u = Z. L'identité (64) donne, en remarquant que dz — \ pidxi= o,

rfZ=yP<</X/.

On aura donc ces nouvelles relations

[P,Z] = pP„ [X,Z] = o,

qui y jointes aux équations (74)9 seront équivalentes à la relation (64).

269. Supposons qu'on ait trouvé un sj'stème de /i + i fonctions indépendantes Z, X/, satisfaisant aux relations

On pourra déterminer sans |difficulté et d'une seule manière les /i + I autres fonctions P/, p par les équations

ffL

dxi

àpi p dXj.

Les 2/1 équations (67) et (68), qui doivent déterminer les n inconnues P/, forment un svstème surabondant; mais il est aisé de voir qu'elles sont toujours compatibles. On a, en effet, les identités

X(*'S-'''^'f)=-"'""i-2/'tx.x.i

qui fournissent n relations distinctes entre les A/, B/j car l'un au moins des déterminants formés avec les éléments du tableau

dXn dxi

àpi

diffère de zéro, puisque le déterminant A, qui est une fonction linéaire de ces déterminants, n'est pas nul.

Ceci montre d'une part que, parmi les a/i équations (67) et ( 68), il y en a nécessairement n qui sont des conséquences des autres, et d'autre part que, parmi ces équations, il y en a

35o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.

toujours n essentiellement distinctes, dont la résolution donnera les inconnues P^.