Soit
I a\ Tff àz dz d*z \
une équation aux dérivées partielles entre les variables indépendantes Xi, , . .<f Xn et ui}e fonction inconnue z. On pourra remplacer cette équation par le système des deux suivantes :
(77) Ff -j-a?!, "'iX„, p^, . . .,/?„, -^Ji ... j»
dz — \ Pi dXi =: o.
Soient Z, X/, P/ des fonctions de z, xi^ pi déterminées comme ci-dessus, de manière à satisfaire à Tidentité
cfZ — Y Vi dXi rrr p fdz — V /?; dx^ .
Substituant dans les équations (77) les valeurs de z, Xi^ Pu
-f-i . ... en fonction de Z, X/, P/ et de leurs dérivées par-
tielles par rapport à X|, X2; . . . , on aura de nouvelles équations
*( Z, X|, . . .,X„, P|, . . ., Prt, . . ., ^^» •• • > ^^j •• -j»
f/Z— yP/^/X/=:o,
équivalentes à Téquation aux dérivées partielles
^/„ Y ^ àZ dZ dZ d«Z \
Cette équation transformée est du même ordre que la primitive.
ÉQUATIONS AUX DÉRITÉBS PARTIELLES. 35l
S71* Les transformations de ce genre, auxquelles M. Lie a donné le nom de transformations de contact, ont une grande importance. L'une des plus simples est la suivante, déjà considérée par Legendre,
C'est bien une transformation de contact, car on a
dZ — \ P| dX i^=z — dz -h\ (pi dxi -h Xi dpi ) — \ Xi dpi
= — ( dz — > pidxi J .
Cette transformation est d'ailleurs réciproque, car on déduit des équations ci-dessus, résolues par rapport à ^, xi^ //<,
5=— Z-+-\ P,X/, ^/=P/, Pi—^h
in. — Équations aux dérlyées partielles du second ordre.
272. Parmi les équations aux dérivées partielles à deux variables indépendantes et d'ordre supérieur au premier, la plus simple est évidemment l'équation monôme
Il est facile de trouver son intégrale générale.
En effet, prenons pour variable auxiliaire la dérivée
---- = M ; on aura
dx
Donc, pour une valeur constante de y^ la quantité f/, considérée comme fonction de x seul, aura sa dérivée m*^*"* nulle; elle sera donc de la forme
Ao -+- A| X -f- • . . -H A/;i| X ~ ,
33a TROISIÈME PARTIS. — CHAPITRE III.
Ao, • • • t A;it i étant des quantités indépendantes de x et, par suite, des fonctions, d'ailleurs arbitraires, de la seule variable y,
La valeur de u étant ainsi déterminée, on aura
•\ — ^^ A 0 ~f~ A 1 JT •+- . . . -f- A •■ ^ 4 J7 •
Désignons par Yq, . . ., Y,;,4 des fonctions de y, ayant respectivement pour dérivée /i'*"™'' A©, . . . , P^m-\* L'équation précédente admettra la solution particulière
Ç = Yo H- Y, a? -f- . . . 4- Y,„, a?'"-* .
Pour obtenir la solution générale, posons
L'équation deviendra
et donnera
(7= Xo-h X,7 H-. . . + X«, v«-\
Xo, . . . , X;,j étant des fonctions arbitraires de x. On aura donc finalement
a zz: Yo -{- Y, ^ H- . . . -h Y„,i .r'"-», H- Xo -+- X, j + . . . 4- X«, 7«-».
D'ailleurs A^, . • . , A,„, étant des fonctions arbitraires de j', leurs intégrales n}^"^''* Y©, . . . , ^m~\ seront également des Fonctions arbitraires.
En particulier, l'équation du second ordre
dx dy aura pour intégrale
