Considérons avec Euler Téquation plas générale

dx' ôx dy dy^ '

a, 6, c étant des constantes.

Changeons de variables indépendantes, en posant

dc, P, Y, s étant des constantes.

On aura

dx âl âr^ ' dy ai d^i '

LVquation transformée sera donc la suivante :

Soit en particulier

a — Y = i, P = ^i, T = ^i> X| et X3 étant les deux racines de Téquation

a-f-26X 4-cX' = o.

Les termes en -y^y j-j disparaîtront, et l'équation transfor-

mée, se réduisant à

aura pour intégrale générale

/et f désignant des fonctions arbitraires.

Si l'équation en X a ses deux racines égales, les deux nouvelles variables Ç et 7) ne seront pas distinctes. Le procédé J. — Cours, m. 23

précédent doit donc être légèrement modifié. On prendra, dans ce cas, a= i, B = ). et on laissera v et 8 arbitraires.

Les quantités a -+- b\ 6 4- cX étant nulles, le terme en ^jt-ts'annulera; Téquation se réduira à

et aura pour intégrale générale

274. La méthode précédente, convenablement généralisée, permet de ramener à une forme plus simple Péquation

ôa:^ dx Oy dy^ '

où A, B, C sont des fonctions de x^ y, et M une fonction de dz dz

Soient, en effet, Ç, tj deux fonctions de x, y, que nous prendrons pour nouvelles variables indépendantes; on aura

dz dz â^ dz &r\

dx di dx dri dx

dz dz d^ dz .dT\

dy ~~ dl dy dri dy

dx^ " d5* \dx) "^ dr^' \dx) '^'^ d\ ôf, dx dx

dz d^ dz d'ri dk dx^ dTi dx*

d^z d^z d^ a? d^z dr\ dri

dxdy d$* dx dy dr^^ dx dy

d'z fd^dri dji dV\ dz d^l dz d^fj dldri \dx dy dx dy) d\ dxdy dr^ dxôy

dy' ■" d^' \dy) "^ d^i» \dy) '^^d'^dn dy dy dz d^ dzd^ ■^d; dy' "^ dri dy''

Substituant ces valeurs dans l'équation proposée^ on aura une transformée de même forme

où

\dx ) dx dy \ày) '

Ces deux coefficients s'annulent donc si Ton prend pour \ et y\ deux intégrales distinctes de l'équation aux dérivées partielles du premier ordre

Le premier membre de cette équation est un produit de

deux facteurs X-r — h V-'T'^ ^'« ;5 — ^ f^' ^"~' ^^ ^^^ égalant

séparément à zéro, on aura deux équations linéaires du premier ordre; leur intégration donnera les fonctions \y r\y dont l'introduction comme variables indépendantes réduira la proposée à la forme plus simple

Cette méthode serait en défaut si le premier membre de (i) était un carré parfait; car Ç et tj, déterminées par une même équation linéaire, ne seraient pas distinctes. Mais, en prenant dans ce cas, pour 7), une intégrale de cette équation et, pour Ç, une fonction quelconque, on voit aisément que B' s'annulera ainsi que C, de sorte qu'on obtiendra une transformée de la

forme

d^z „/^ dz dz\