Parmi les équations de la forme (a), nous considé
356 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lU.
rerons en particulier Téquation de Laplace
OÙ M, N, P, Q sont des fonctions de x, y seulement. En prenant pour variable auxiliaire la quantité
(4) ^+M4; = «, Péquation proposée pourra s'écrire
(5) ^-hN«4-Q-hAxî=:o,
en posant, pour abréger^
P fî MN = A.
ox
L'équation (3) est donc équivalente au système des deux équations simultanées (4) et (5). Ce système s'intègre immédiatement si A = o. En effet, l'équation
ne contenant de dérivation que par rapport à x^ deviendra^ pour une valeur constante de j', une équation aux différentielles ordinaires, linéaire et du premier ordre, dont on déterminera aisément Tintégrale générale sous la forme
U\ étant une intégrale particulière et G une quantité constante pour y constant et, par suite, une fonction de y seul, d'ailleurs arbitraire.
Substituons la valeur de u ainsi trouvée dans l'équation (4)- Cette équation, ne contenant de dérivation que par rapport à y^ pourra de même s'intégrer comme une équation aux différentielles ordinaires, à la condition de remplacer la con-
fiQUATIOlfS AUX DÉRIVtES PARTIELLES. 357
stante d*intégration par une fonction arbitraire de x. On aura donc, pour ^, une expression où figurent deux fonctions arbitraires, l'une de x^ l'autre de y.
276. Supposons, en second lieu, que A soit difierent de zéro. L'équation (5) donnera
Substituons cette valeur dans (4) et posons, pour abréger, K oy ày
il viendra
équation de même forme que la primitive. Si elle peut être intégrée, la formule (6) donnera la valeur de z.
Cette intégration pourra se faire immédiatement si l'on a
ax ôxoy ày dx
= -3-^ h2A-4--r-H-MN — P.
ox ày oy
Sinon, opérons sur la transformée comme nous l'avons fait sur l'équation primitive; nous ramènerons son intégration k celle d'une nouvelle transformée
dx dy dx dy
358 TBOISIÈMB PARTIE. — GHÀPITRB lU.
laquelle pourra se faire si Fou a
o-A -«^'logA. ... àN dM,
oxoy
Continuant de même, nous aurons un nouveau cas d^intégrabilitéy si la quantité
. ^MogA,
^•"~ dxdy ^^^' ^'
est nulle, et ainsi de suite.
277. L'équation primitive ne changeant pas de forme si l'on y permute a; et M avec y et N, nous obtiendrons évidemment une seconde série de cas d'intégrabilité analogue à la précédente en formant successivement les quantités
