Considérons l'équation de Liouville

àx ôy

Posons

âz

Il viendra

<QUATI01f9 AUX DftRITÉES PARTIELLES. SSq

et, en prenant la dérivée par rapport ky^

dxdy dy dx ^

Cette équation peut s'écrire ainsi

ou, en intégrant,

Soit i({y) = — r ^,: V une solution particulière de cette équation; on aura

dy ^ ' ^ aX /'*

et ces équations n'apprendront rien sur les fonctions <]/ et /, la fonction F étant arbitraire.

Pour avoir la solution générale, posons

u étant une nouvelle variable, il viendra

du rir) ^ , ^

ou, en multipliant par — "^ , »

36o TROlSifcHB PARTIE. — CHAPITRE III.

Intégrant par rapport à^, il vient

et enfin

379. Étant donnée une équation aux dérivées partielles du second ordre

où nous posons, pour abréger, -^^ =/>, -^^ = y, j-^ = /*, ••.,

proposons-nous de lui appliquer la transformation de Legendre. Soient

les nouvelles variables, et désignons par P, Q, R, S, T les

j , . , ,. ,, d2i ôTi d*7t

dérivées partielles w' ;yy ' Ivî' * * "

On aura

dL-=z X dp -\- y dq -\-p dx -^ q dy — dz =ixdp -hydq =ix d\ H-/ c/Y, d'où

et, par suite,

5=PX-4-QY-Z.

On aura ensuite

rfX= dp ^=r dx -^s dy ^ dY =.dq =zs dx -h t ûf>, c^x =t/P = RûfX H- S onf, dyz=dQ = S^ n- Tt/V,

et, en éliminant cOL et cfY,

da: = {Rr 4- bs) dx H- (Rs 4- S^) dy,

df/ = (Sr + T5) dx H- (S^ -4- TO d/;

d*où

R/-4-S* = I, Rs-hS^ =0,

Sr-i-T5 = o, S^+T^zni, et enfin

HT— S* RT— S« RT— b-

L' équation transformée sera donc

Fn'X-ï-QY-"Z,P,Q,X,Y, IïtIIsî» "-f^fllsi' rt— SV^^'

280. Nous allons appliquer cette transformation à Téquatîon aux dérivées partielles des surfaces dont les rayons de courbure principaux sont égaux et de signe contraire.

Nous avons donné (Calcul différentiel, n" 337) Téquaiion du second degré, qui détermine ces rayons de courbure. Égalant à zéro la somme de ses racines, on obtiendra l'équation diflTérentielle cherchée

Par la transformation de Legendre, elle deviendra

(8) (I 4-X*)R + 2XYS -h (I -h Y*)T=: o.

Diflférentiant par rapport à X, on trouvera

(9) (,4-X*)~-+-2XY^-f-(i-l-Y*)^-t-2XR4-2YS = o.

Mais on a

dx „

~ àY-

dx dY'

<rr

dX-

dX*'

~ dXd\'

dx-

dY'

dY*

362 TROISIÈME PARTI B. — GHAPITRB lil.

L'équation (9) peut donc s'écrire

La difTérentiation par rapport à Y donnerait pour ^ la même équation aux dérivées partielles. Enfin, en tenant compte de la relation (8), on vérifiera aisément que

satisfait encore à cette même équation.

Pour intégrer l'équation (10), nous la simplifierons suivant la méthode du n^ 274, en remplaçant X, Y par de nouvelles variables indépendantes \, tj, qui satisfassent à l'équation aux dérivées partielles

Cette dernière équation, décomposée en facteurs, donne la suivante :

(II) (n-X«)^+(XYq:v/-.-X«-Y«)^ = o,

dont l'intégration se ramène à celle de l'équation différentielle ordinaire

dX. dY

(la) (i-^X«)^=XYii=v/-i-X«-Y«.

Prenons la dérivée de cette équation et remplaçons-j