Calculons maintenant U
On satisfait évidemment à l'équation différentielle et à la condition initiale
-r— := o pour ^ = o
par la solution simple
cos M CCS ar^y
et plus généralement par l'intégrale définie
- — - VF(X, p., v) co%yLcosartdkd^d^dudvdw
= — — 7- X cosM sinaF'tdAdit.dydudvd(v
= ^ / / ^F(a?-ha/'sinO'co9ç',/-har'sinÔ'8incp',^-+-a^'cosO') D'ailleurs, pour < = o, cette expression se réduit à
On satisfera donc à toutes les conditions du problème en posant
ce qui donnera
V—j—T- f f V(^-*"«^'9În^^'cosçp', /-ha^'sinô'sincp', ^H-a/'cosO')
xsine'e^l'^'/.
On aura enfin
Cette solution suppose toutefois, comme on Ta vu d'après
J. — Cours, III. a5
la démons Iration : i^ que les fonctions
ont une variation limitée lorsque le point \ [x, v décrit une droite partant d'un point quelconque x^ jk> ^ de l'espace, et allant jusqu'à l'inGni dans une direction quelconque; 2^ que les intégrales
f\f'-'\dr', flAr'ldr'
prises le long de cette droite sont finies.
297. Supposons qu'à l'instant initial il n'existe de mouvement qu'aux environs de Torigine des coordonnées, de telle sorte que les fonctions
soient nulles pour toutes les valeurs de x^ y^ z extérieures à une sphère de rayon e décrite autour de l'origine. Décrivons une sphère de rayon at! ayant pour centre l'origine; on pourra la représenter par les trois équations
■ { -f- at^ sin 6' cos «p' = o,
T, -h at' sin 0' sin ^' rr^ o,
î-ha^'cosO' =10.
Pour tout point x, y, z dont la distance à cette sphère est > s on aura, pour toutes les valeurs de 8' et ^',
r^ {x -r- at' sin 8' cos«p')'
(7 4- at' sin 6' sin «p' )' 4- ( « -4- a/' cos 6' )* > e.
Les fonctions
/{x 4- al's'm^' ces©', y 4- at' sinO' sîn^p', z 4- at' cos6')
et
/i(j: 4- a^' sinO'cos^', / 4- a^' i>inO' sin^', 5 4- «^ ces 6')
ÉQUATIOffS AUX DÊRIYÉES PARTIELLES. SSj
seront donc nulles dans tout le champ d'intégration, et Ton aura par suite U = o.
La fonction U sera donc nulle à chaque instant dans tout l'espace, sauf dans Tintérieur de Monde sphérique comprise «ntre les deux sphères de rayon at^ + e et a^' — e.
298. Problème de Cauchy, — Considérons plus généralement un système de fonctions inconnues U, V, ... des variables t, Xy y^ js, déterminées par un système d'équations
ayant pour premiers membres des fonctions linéaires à coefficients constants de U, V, ... et de leurs dérivées partielles, et par les conditions initiales
dW ) pour ^ =r o.
Posons, pour abréger,
tt(^ — X) -f- P(7 — |X) -h 1V(« — V) rizp,
11^ Çy sVj \ (JL, V étant des constantes, et
du dv dw dkdiidy z:=. da.
Nous allons prouver que la solution du problème est donnée par les formules
(2lï)30
OÙ le champ d^ntégration par rapport à chacun des couples de variables c^, X; (^, pi; çv^, v est un rectangle infini ayant pour centre Torigine des coordonnées; T, 6, ... désignant
d'autre part des fonctions de t définies : i° par les équations différentielles
(22) ^ = W(^X, |JL,V), AiZlzGJ,(^, X, |X,V),
OÙ Jl, iRi, ... se déduisent de R, K|, . . . en y substituant aux dérivées partielles
les expressions
'2^ par les conditions initiales
T=/(x, fx, v), -^ =yi(x, [x,v),
(ai) { ^^ } pourrz=o.
Substituons en effet, pour U, V, ..., les valeurs (21) dans Tune des équations (20), la première, par exemple; comme on a évidemment
le résultat de la substitution dans R sera
(211)' O ou, en vertu des équations (22),
Or on a
=:[cosa (a? — X) -h tsina {x — X)] X [cos^ (/ ~ l*) -^ isinf' (y — |jl)] X [cos«P'(-5 — v) H- i sin«'(^ — v)].
EfTectuant les produits, on obtiendra huit termes qui tous, à l'exception d'un seul, contiendront un sinus en facteur.
Considérons un de ces termes, contenant par exemple le facteur sin^(:r — X). Les éléments qu'il fournit à l'intégrale pour deux valeurs égales et opposées de u se détruiront.
Au contraire, les éléments fournis par le terme
cosu{x — X) cosf (/— (x)cos(p(^ — v)
pour des valeurs égales et contraires assignées à l'une des quantités m, t', w seront égaux. L'intégrale (24) se réduira donc à
— V cos£x(j; — X) cosp(j — jjl) co%w{z — v) w(^, X, |x, v)e/<y,
^/, v^ w ne variant plus que de o à 00.
La double intégration par rapport k u^\ donnera comme résultat, d'après le théorème de Fourier,
— V cosc(j — fJi) co%w{z — v)ot(^, a?, ^y^)dvdwdkd'i.
Intégrant par rapport à p et [jl, on aura de même, comme résultat,
- V cosw(5 — - v) m{tt x^yy v) dwéi^ et enfin, en intégrant par rapport à w et v,
ce qui est précisément le second membre de l'équation aux dérivées partielles.
SgO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
Les conditions initiales sont également satisfaites, car on a, pour / = o, en vertu des équations (aS),
"=(ii?S^"'-^('''^'^)^''
dli
ci il suffira de changer w en /, y, , ... dans les raisonnements précédents pour montrer que ces expressions sont respectivement égales kf{x^y^ ^)>/i {^O'^^^j • • •-.
299. Propagation de la chaleur dans une barre indéfinie dans uh sens. — Nous aurons Téquation aux dérivées partielles
dt -"^ dx^'
avec la condition initiale
U=:/(^) pour^ = o, j:>o
et la condition à la limite
U = o(i) pour a? = 0,
laquelle donne, en fonction du temps, la température à Vori* gine de la barre.
On pourra poser
U' devant satisfaire aux conditions
\]':=if{x) pour tz^o^ j:>o;
U'=:0 p0Urd7:=0,
et U" devant satisfaire aux conditions
U" = o pour^=zo, ^>-o;
\j"ziz*^(^t) pour:r — o.
ÉQUATIONS AUX DÉRIYÉBS PARTIELLES. SqI
Calculons d'abord U'.
On satisfait à la condition U' = o pour j; = o, ainsi qu'à Téquation aux dérivées partielles, par la solution simple
sinaa?^"''*''''
et par la solution plus générale
I sinMJC(5-«'«''F(M)rfM,
laquelle, pour ^ = o, se réduit à
f sinuxF{u)du,
Il restera donc à déterminer F (m), de telle sorte qu'on ait
Jf s\nuxF{u) du^=z /{.r) pour :r > o.
On y arrivera en posant
F(u) = - f sin ul /{\) dX.
On a, en effet,
= - f I [cosu(x — X) — C0SM(a? -f-
X)]/(X)cA,
et, en désignant par ^Çk) une fonction égale à /()^) pour )i > o, à zéro pour X <! o, cette intégrale aura pour valeur
quantité qui, pour a:>>o, se réduira à /(^) [en supposant /(x) continue].
3g2 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
La solution du problème sera donc Tintégrale double - f f c-«'"''[cosw(a: — X) -cosi/(a?-T-X)]/(X)flfarfX
ou, en effectuant Tintégration par rapport à £/, comme au n« 29i,
(25) — —= I /(\)dk[e *"*' —e *«'' J.
300. Passons au calcul de U''. Ce problème se ramène au précédent, comme nous allons le voir.
Nous traiterons d'abord le cas particulier où ^ (/) se réduit à la constante i. On aura, dans ce cas,
W étant une nouvelle solution qui satisfasse aux relations
W ~: — I pour ^ -— o, ^ > o ; W^r^o pourar=:o.
Cette dernière fonction s'obtiendra en posant /(X) = — i dans la formule (20). On aura donc
U':zz:l '-—l / e ''""' dk- e *"" dk\.
Cette expression peut se simplifier. Changeons, en effet, de variables en posant, dans la première des intégrales cidessus^
et dans la seconde,
Elles deviendront respectivement
ÉQUATIONS AUK DÉRITÉBS PARTIELLES. 898
et auront pour somme
mais on a d'ailleurs
On aura donc finalement
expression que nous désignerons par y^(x^ t).
301 . Passons au cas général où (f{t) ne se réduit pas à une constante. Nous allons démontrer qu'on a
(26) U'= <p(o) x(^, 0 + r X(^» ^- X) cp'()0 ^.
En effet, /(^^ t) étant une solution de Téquation aux dérivées partielles et celle-ci ne changeant pas si l'on y change t en t — \ x(^> ' — ^) ^^^^ encore une solution.
L'intégrale / x(^> ^ — ^) f '(^) ^) prise entre des limites
constantes, sera une solution , et il en sera encore de même si la limite supérieure, au lieu d'être constante, est égale à t; car cette supposition ne fait qu'ajouter à la dérivée partielle de l'intégrale par rapport à ^ le terme ^(^, o) cp'(^), lequel est nul dans toute l'étendue de la barre, d'après les conditions qui ont servi à déterminer la solution 7^(^, /).
Donc les deux termes de U" sont des solutions de l'équation aux dérivées partielles. Tous deux s'annulent d'ailleurs pour ^ = o dans toute l'étendue de la barre. On aura donc
V=zo pour^mo, j?>o.
3g4 TROISIÈMB PARTIE. — CHAPITRE III.
Enfin, pour j: = o, on a
et
Donc U'' satisfait bien à toutes les conditions du problème.
302. L'expression (26) peut se transformer au moyen de l'intégration par parties. On a, en eOet^
D'ailleurs ^('^)x{^^ ^ — ^) s'annule pour X= i, et se réduit à <p(o) xi^i ^) P<>"r ^ ^= o. On aura donc simplement
[?(X)x(-=^.'-^)]'. -/ ^^X(^,t-->^)'o{\)dX.
Remplaçons maintenant x(^j ^ — ^) P*^ sa valeur
hx{x,t-\)=^. 7e »"'"-»'
on aura et enfin
La méthode dont nous nous sommes servi pour ramener le calcul de U" à celui de U' est évidemment applicable à tous les problèmes analogues.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIBLLBS. SgS
303. Cordes vibrantes, — Considérons une corde tendue sur la portion de Taxe des x comprise entre o et /. Désignons par U le déplacement suivant Fun des axes coordonnés du point dont Tabscisse serait x dans l'état de repos. Nous aurons l'équation aux dérivées partielles
à laqueUe il faudra Joindre les conditions initiales
et les conditions aux limites
L' z^ o pour ^ =: o, U ::= o pour xz=z l^
lesquelles expriment que les extrémités de la corde restent fixes.
Nous avons trouvé (273) que l'intégrale générale de l'équation ( 27 ) est
IJ =:9{x -\- at) -h '^{x — at).
Il reste à déterminer les fonctions op et <{; de manière à satisfaire aux autres conditions du problème.
Les conditions initiales donnent, pour l'intervalle deo à /,
ao'{x)—a^'{x)—/i{x); d'où, en intégrant,
af{x)—a^{x)^=l /i{x)dx-hc
VQ
et enGn
396 TEOISIÈXfB PARTIE. — CHAPITEB III.
D'ailleurs, U ne chaDgeant pas quand on accroît la fonction <f d'une constante quelconque en diminuant d'autre part la fonction ^ de la même quantité, on pourra, sans nuire à la généralité de la solution, supposer c = o.
Les fonctions <p(^) et ^(x) sont ainsi déterminées dans Pintervalle de o à /. Les conditions aux limites donnent d^ailleurs les identités
^{at) -h^(— at)z=zo, ff {l -^ at) -¥- ^ {l — at) = o;
d'où, en changeant aC en x^
Cette dernière équation donnera la valeur de cp pour les valeurs de l'argument comprises entre l et 2/. En y changeant X en — X, elle donnera la valeur de ^ dans le même intervalle.
Enfin, en y changeant l en l -h x, il viendra
cp(2/-f-a?) 4-<K— :r) r-o,
d'où
La fonction <f admet donc la période 2/. Il en sera de même de la fonction
Les deux fonctions cp et (|/, admettant la période 2/ et étant connues dans l'intervalle de o à 2 /, seront déterminées pour toutes les valeurs de l'argument.
304. La méthode d'intégration précédente, due à Euler, est spéciale au problème des cordes vibrantes. Le procédé de BernouUi, que nous allons exposer, est, au contraire, l'application directe des principes établis au commencement de cette Section.
On satisfait à l'équation aux dérivées partielles et aux
conditions aux limites par les solutions simples
, nmx mizat . mizœ . mizat sin — j — cos — - — ) sin — j — sm — j — y
où m désigne un entier quelconque.
On y satisfera plus généralement par la série
niTzx . mnat
sia—j-,
-, V^ . . mitx rnizat V^^ . nn\ U = > A;n sm —j— cos — 2 ^2j ^*° ~
m prenant toutes les valeurs entières de i à oo.
Reste à déterminer les coefficients A^ et B;„, de manière à satisfaire aux conditions initiales. En y substituant cette valeur de U, elles deviendront
Amsm-y~=:/(a:),
mua T> . rmzx ^ , .
et Ton y satisfera (t. II, n** 238) en posant
Tca 2 /• . mira
305. Refroidissement d'une barre hétérogène. — Ce problème dépend de l'intégration de Téquation suivante
<^^) ^^t^ôi^d^"^^
jointe à la condition initiale
(29) V^=^J{x) pour ^ = 0, iF>o < X
et aux conditions aux limites
(30) A:-T AU = o pour a? = 0,
(3i) k-^ — }-HU:==o pouriF==:X.
SqB troisième partie. — CHAPITRE IIK
La barre est supposée s*élendre sur l'axe des :r de o à X; g^ k, l sont des fonctions de x^ positives dans toute l'étendue de la barre et représentant respectivement la chaleur spécifique, la conductibilité intérieure et le pouvoir émissif sur chacune des sections transversales; A et H sont des constantes positives.
On satisfait à Téquation (28) par la solution simple
r désignant une constante et V une fonction de x qui satisfasse à l'équation linéaire du second ordre
Les équations (3o), (3i) donneront
(33) k-j /iV = o pour^r=o,
(34) ^^-hHV=o poura?r=:X.
Soient V, \" deux solutions particulières de l'équation (32); l'intégrale générale sera
et cette valeur, substituée dans les équations (33) et (34)» donnera
On pourra satisfaire simultanément à ces deux équations
par un choix convenable du rapport -7 si leur déterminant
est nul. Ce déterminant est une fonction de r que nous désignerons parGj(r).
Soient Tj, r2, ... les racines de l'équation t5(r) = o. A
chacune d'elles, telle que r„, correspond une intégrale V,| telle que la solution simple
satisfasse à la fois à Téquation aux dérivées partielles et aux équations aux limites.
On y satisfera plus généralement en posant
et cette nouvelle expression sera la solution du problème, si elle satisfait en outre à la condition initiale.
Il ne restera donc plus qu'à choisir les coefficients Â, de telle sorte qu'on ait
léK^y „i^^f{x) de a; = O à ^r::: X.
306. La détermination de ces coefficients repose sur une propriété importante des fonctions V„, que nous allons exposer.
Le paramètre r restant provisoirement arbitraire, désignons par V celle des intégrales de l'équation (32) qui satisfait, pour ;r = o, à la condition initiale (33). Ces deux équations pourront s'écrire ainsi
(87) A:-r h\=^o pourj: = o,
en substituant aux différentielles ordinaires des signes d de dérivation partielle, pour mettre en évidence ce fait que V dépend non seulement de x, mais du paramètre r.
Donnons à ce paramètre une autre valeur r'. Soit V la valeur correspondante de V ; on aura
(39) - k -r /tV = o pour X -- o.
4oO TROISiftHE PARTIE. ~ CHAPITRE lil.
Retranchons Tune de Pautre les équations (36) et (38), respectivement multipliées par V et V; il viendra
^ '^ dx àx dx dx
dxY\ dx àx)\
et, en intégrant de o à X,
X ,. , .,r -r,VTX
(r'- r) r gW'dx^^ \k(\' ^ -V-^ M
dx)i
= Kvg-vS')]...,
car, pour a: = o, 1 expression a ( V ^ V ■^— j s annule en
vertu des équations (3^) et (39).
Posons maintenant r = rm, /^ = ^/î) ^m et r„ étant deux racines distinctes de Téquation w(r) ^ o; V et V se réduiront à Y m et V,M et l'on aura, pour j: = X,
it^4-HV=o, k~ 4-HV'=:o, dx dx
d'où
dx dx
L'équation (4o) se réduira donc^ en supprimant le facteur
(40 f g\„\nClx:^0.
Soit, en second lieu, r = r,i, /•'= r« -h e, e étant un infiniment petit. On aura
dV dVn
V=iV„,
dx ' dx
dY dW dV d^\
" (}/• " * ' dr Ju; dx dr
ÉQUATIONS AUX DÊRITÉBS PAETIBLLBS. 4oi
SubstîtuaDt dans Tëquation (4o), divisant par e et passant à la limite, il viendra
307. Nous allons maintenant établir que, si Ton débarrasse Téquation m(r) = o des racines parasites pour lesquelles la solution V correspondante serait identiquement nulle, les racines restantes seront toutes réelles, inégales, positives et en nombre infini.
i** Si Tij (r) = o admettait une racine imaginaire r;„ = a -+- ^ i, elle admettrait sa conjuguée r« = a — ^i. A ces deux racines correspondraient deux intégrales conjuguées Vto=/> •+■ qif Vrt=/) — qi\ et l'intégrale
aurait tous ses éléments positifs, ce qui est absurde, puisqu'elle doit être nulle.
2^ Si Tn(r) = o admettait une racine double r, l'intégrale correspondante V/i satisferait, pour ^ = X, non seulement à l'équation
àx mais à sa dérivée
HV„ = o,
ox or or
On aurait donc, pour ^ = X,
^^-^T^r^""^ d'où
j gyxdx = Oy
résultat absurde, tous les éléments de l'intégrale étant posi tifs.
J. — Cours, m. a6
4oa TaOlSIÈMB PAETIB. — GHÀPITRB III.
3*^ L'équation tîj (/•);= o ne peut avoir de racine négative ou nulle.
En effet, si r^ o, / — rg sera positif dans toute Tétendue de la barre, et les équations
(44) ^-, /jV = o pour a: — o,
(45) A-^-}-HVrz:0 pOUra?r:X
seront contradictoires.
En effet, l'équation (43)» intégrée de o à ^, donne
. =[AV]. -H-y {l-gr)\dœ.
La fonction V varie avec x en partant de la valeur initiale Vo ; tant qu'elle ne changera pas de signe, tous les éléments
de rintégralc / (/ — gr)\ dx auront également le signe
de V©; donc -r- aura ce même signe, et, par suite, Vs'éloi-
gnera de zéro.
Il résulte de là que, dans tout l'intervalle de o à X, V s'é-
dW loigne de zéro et conserve le même signe que -j— • Donc l'équation
k — h HV = o pour J7 = X
ne pourra avoir lieu, ses deux termes ayant le même signe.
308. Les racines de nj(r) = o sont donc toutes réelles, inégales et positives. Il reste à prouver qu'elles sont en nombre infini. Nous y arriverons en étudiant l'allure des in-
tégrales de Téquation (32) ou, plus généralement, d'une équation de la forme
où K et G sont des fonctions de x.
On peut remarquer incidemment que toute équation linéaire du second ordre
peut être mise sous cette forme. En effet, multiplions cette équation par un facteur indéterminé M. Elle deviendra
MP^,- -+-MQ^ +MRV=-=o ou
-7-MP-ï h ( MQ j — 1^ h-MRVrro.
dx dx
Le terme en -j— disparaîtra si Ton pose
dx
d'où
et enfin
dMP Q HF ~ P "^^^
logMP=J^dx,
M étant ainsi déterminé, on n'aura plus qu'à poser MP = K, MR = G pour avoir la forme d'équation voulue.
On peut simplifier encore la forme de l'équation (47) par un changement de variable. Posons, en effet.
4o4 TROISIÈHB PARTIE. — CHAPITRB m.
Il Viendra
dV
Ki^-iK-'^W.
dx dx 2 dx
rfV
= K^^-iK-i^W,
dx dx 2 dx
ûTJ? a J7 «07* 2 dx \ dx )
dW Le terme en -^— disparaîtra donc de l'équation transformée,
laquelle, divisée par K', sera de la forme
dx
— RW = o.
309. Soit V| une solution particulière de l'équation (47)r on aura
^K^'+GV.^o.
dx dx
De cette équation combinée avec (47) on déduit
dx dx dx dx dx\^ \ dx ^^ ) \
et, en intégrant,
