Ï^(V.S-VS

et enfin

(49) v = cV.y^j^-g+c'V,.

Supposons que K reste constamment fini et positif entre

dW G et X. On déduira de la relation (48) que V| et -j—

ne peuvent s'annuler à la fois en aucun point de cet inter-

EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4o5

valle; car on aurait c = o, et Finiégrale générale ne contiendrait qu^une constante d ^ ce qui est impossible.

L'équation Vi = o n^admel donc que des racines simples, et la courbe jK = V| coupera l'axe des x en tous les points où elle le rencontre. Soient a et ^ deux racines consécutives;

les valeurs correspondantes { -r-^ ) ^^ ( 77~^ ) ^^ '^ dérivée

-7-^ seront évidemment de signe contraire.

Cela posé, V désignant une autre intégrale quelconque, on aura Téquation (48) qui, pour :r = a et a; = ^, se réduira à

Donc [K.V]oc et [KV]p seront de signe contraire, et^ comme K est toujours positif, [V]a et [V]p seront de signe contraire.

Donc, entre deux racines consécutives de Téquation V, = o, comprises entre o et X, il y aura au moins une racine de V= o. Il n'j en aura d'ailleurs qu'une seule, car ce théorème est évidemment réciproque.

310. Nous allons étendre cette comparaison aux intégrales V, V qui satisfont respectivement à deux équations différentielles distinctes

-^K^+GV =0.

ax ax

Supposons d'abord que K' et G' soient infiniment peu différents de K et de G et que les différences K — K' et G' — G soient constamment positives entre o et X.

Admettons enfin que les intégrales V et V qu'il s'agit de comparer soient des solutions correspondantes, c'est-à-dire telles qu'on ait

V'=V, K'^rziK^ pour a: = 0.

4o6 TROISIÈXB PARTIE. — CHAPITRE m.

On déduit des équations (5o)

dx dx