V'^K^-V3^K'^=(G'-G)VV

ce qui peut s écrire

<f r dS <fvn

dS dS'

dx dx

Or y et -T- > différant infiniment peu de V et de -;-> au-

dx ^ dx

ront le même signe que ces dernières quantités; d^ailleurs, G' — G et K — K' sont positifs. Donc le second membre de cette équation sera positif de o à X, et la fonction

dx dx

sera croissante dans cet intervalle. D^ailleurs elle s'annule pour ^ = o; elle sera donc positive de o à X.

Soit, maintenant, a une racine de l'équation V= o comprise dans cet intervalle; on aura, pour x = a,

donc [V'](x et I -T- seront de même signe.

Si j ^ >^ o, la courbe^ = V traversera Taxe des x de

Fig. 7.

bas en haut au point x = a {fig- 7); [V']a étant positif, la courbe j^=V', infiniment voisine de la précédente, sera

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIBLLBS. t\0']

située au-dessus d'elle et coupera l'axe des x en arrière du point a.

Si -7— < o, la courbe^ =V traversera l'axe des x en

descendant; [V]» étant négatif, la courbe j^ = V' sera audessous de la courbe j>' r- V et coupera encore Taxe des x en arrière du point a {Jig- 8).

D'ailJeurs, si l'une des fonctions V, V s'annule pour a; = o, il en sera de même de l'autre, par hypothèse.

Donc, à chaque racine a de l'équation V = o correspond une racine infiniment voisine a' de l'équation V'= o, laquelle sera un peu moindre que a; et l'équation V'-^ o aura en général autant de racines entre o et X que Téquation V= o.

Toutefois elle en aura une de plus si V s'annule pour X, car la racine correspondante de V tombe en dehors de Tintervalle considéré.