Soient plus généralement deux équations
-7- K 3 h GV — o,
dx dx
^K.^'-HG.V.==o.
où les quantités K< et K, &< et G diffèrent de quantités finies, mais satisfassent toujours aux relations
(54) G, — G50, K — K,=o deoàX.
On pourra former d'une infinité de manières deux fonc-
4o8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
lions Ç(^,r), 2)C(a?, r) de x et d'un paramètre variable r, qui soient, la première croissante et la seconde décroissante lorsque r croît de i\ à r< (et cela pour toute valeur de x comprise entre o et X) et qui de plus se réduisent respectivement à G, K pour r = r© et à G< , K, pour r = ri . On pourra prendre, par exemple, ro= o, r< = i ,
g(.r,r)r:.G-f-r(G,-G), SH:(^,r)i=K-+-r(Ki— K).
Cela posé, considérons l'équation
et désignons par V(j:, r) une solution de celte équation, déterminée par les conditions initiales
V (:r, r) =a, \ -v^^ .^^^'('^''') -/> pouror^o,
a et 6 étant des constantes déterminées choisies à volonté.
Donnons successivement à r une infinité de valeurs Tq, r', . . ., r< variant progressivement de r© à r,.
Soient G, G', . . . , G| ; K, K', . . . , K, ; V, V, . . . , V,
les valeurs correspondantes de y(x,r), DC(a:, r), V(jr, r); nous aurons
G<G'::...rG, \
\ de O a X,
deux fonctions consécutives étant d'ailleurs infiniment peu difTérentes
Nous aurons, d'autre part,
ci ^ d\ ^^j.
d d\' dx dx
ÉQUATIONS AUX DÉRIYÉES PARTIELLES. ^Og
et
Ua: dx ' ' ' ' * ^ix^ )
Si V= o admet une racine a dans l'intervalle de o à X, les équations successives V:-=:o, V'=o, ..., V< == o admettront respectivement, pour racines correspondantes, d'après ce qui a été démontré, des quantités a, a\ . . ., ai, telles que Ton ait
Donc, à chaque racine a de V = o comprise entre o et X correspond une racine moindre ai de l'équation V4 = o. Celle-ci aura donc dans cet intervalle au moins autant de racines que V= o. Elle peut en avoir davantage; car, si l'une des équations successives
V'-\{x,r'):r^o, \''.rz\{x,r')r=zo, ,.., V,.-.V(:r, T, ) = O
est satisfaite pour x = X, il s'introduira par là dans les équations suivantes une nouvelle racine que n'avaient pas les précédentes.
L'excès A du nombre des racines de l'équation V| = o sur le nombre des racines de V = o sera donc égal au nombre des valeurs de r comprises entre Tq et r^ qui satisfont à
l'équation
312. Soient r', r'"*"* deux valeurs consécutives quelconques de r; on aura (310), dans l'intervalle de o à X,
clx dx
Lorsque V' n'est pas nul, V'+*, qui en diffère infiniment peu, sera de même signe, et, en divisant la relation précédente par la quantité positive V'V'"*"*, il viendra
(PJi dV^-^^
dx dx
4lO TROISIÈME PARTIE. — CDAPITRE III.
et, plus généralement, en désignant par H une constante quelconque,
cLr du; yi \î^i > ^•
Cette inégalité a lieu pour toute valeur de x comprise de o à X et, en particulier, pour ^ = X; elle montre que l'ex*
pression
dV{X,r)
DC(X,/-)— i^^-HHV(X,r) V (XTÔ
considérée comme fonction de r, est constamment décroissante de To à Ti , sauf pour les valeurs de r qui annulent son dénominateur.
Elle ne pourra donc changer de signe qu'en passant par zéro ou par Tinfini négatif, et ces zéros et ces infinis se succéderont alternativement.
Si f (to) et «p(/'i) sont de même signe, le nombre A' des zéros sera évidemment égal au nombre des infinis; si ?(''o)>o, ^(r,)<o, il sera égal à A -h i ; si<p(ro)<o, ç(ri ) > o, il sera égal à A — i .
Le nombre des racines de Téquation
3C(X, r) ^^^ + HV(a:, r) = o,
comprises entre Tq et Ti , sera donc égal àA, A + iouA — i suivant celle des trois hypothèses précédentes qui aura lieu.
313. Jusqu'à présent nous nous sommes borné à comparer des solutions correspondantes des deux équations différentielles
-7-K -j hGV =o,
aa: dx '
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIBLLKS. 4ll
Soient maintenant V et V| deux solutions quelconques de ces mêmes équations.
Nous allons établir que deux racines consécutives a, ^ de l'équation V=o comprennent au moins une racine de Téquation V| = o,
En effet, soit Y\ une solution de la seconde équation, telle que l'on ait, pour ^ = a,
dW' dV
A la racine p de V= o comprise dans l'intervalle de a à X correspond, d'après les raisonnements précédents, une racine ^\ de V'^ = o comprise dans le même intervalle et moindre que p. Mais V| satisfaisant à la même équation différentielle que V^, entre les deux racines a et ^\ de V'^ = o, il devra se trouver une racine ^i de V| = o, ce qui démontre notre proposition.
314. Les considérations précédentes permettent de fixer dans une certaine mesure le nombre et la position des racines de l'équation V= o comprises entre o et X, V désignant une solution de l'équation différentielle
-;- K -j — h GV — o. ax dx
Soient, en effet, k^, g^ et k^ , g^ les plus grandes et les plus petites valeurs de K et de G dans cet intervalle. Considérons les équations auxiliaires
Vi et V2 étant des intégrales quelconques de ces deux équations, deux racines de V=o comprendront entre elles au moins une racine de V| = o, et deux racines de V2 = o comprendront entre elles au moins une racine de V=:= o.
4l2 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lU.
Or, si gi est positif, les intégrales de (55) seront de la forme
