Revenons maintenant à Téquation
Désignons par V(.r, r) une de ses solutions qui satisfasse à la relation
k — /e V z= o pour j: = o.
On a vu que, si r = o, cette fonction et sa dérivée ne s'annulent pas entre o et X et ont le même signe; on aura donc
k -: H IIV
ax .
iTj >0 pour 37 = A, r:=io.
Si donc r varie de o à une valeur positive R, g'/' — l croissant constamment pendant ce changement, le nombre des racines de Téquation
dV
o = Tîy(r) = A: -^ h HV pour ^p =r X,
comprises dans cet intervalle, sera égal à A ou A + i , A désignant l'excès du nombre des racines de l'équation
sur celui des racines de V(^, o) = 0 dans l'intervalle de o à X.
Cette dernière équation n'ayant pas de racines, A sera le nombre des racines de V(^, R) = o.
D'après l'analyse précédente, il a pour limite inférieure le plus grand entier E contenu dans le quotient de X par
ici / — jT-^ — Y^ ^2> '2 désignant les plus grandes valeurs de Ar, /, et g2 la plus petite valeur de g dans l'intervalle de o à X.
4l4 TEOISI&ME PARTIR. — CDAPITRE 111.
Or il est manifeste que E croît indéfiniment avec R. Donc Téquation Tn{r) = o admet bien une infinité de racines.
316. Cela posé, nous avons vu (305) que le problème du refroidissement de la barre revient à choisir les coefficients A^, de telle sorte qu'on ait
j:\,n'V^ = /(x) dexoàX.
En admettant la possibilité d^une solution, il sera aisé de déterminer ces coefficients; multiplions, en effet, cette équation par gYn et intégrons de o à X. En vertu des relations (4 1 ), tous les termes de la série où m^/i donneront une intégrale nulle, et l'on aura simplement
A. r gYldx^f g\,/{x)dx.
Substituant les valeurs ainsi trouvées pour les coefficients, nous obtiendrons la série
„ f gynAx)dx V ± V
Si cette série est convergente et a bien pour somme f{x) dans toutTintervalle de o à X, le problème sera résolu; mais, pour s'en assurer, il serait nécessaire de sommer directement la série. Ce résultat n^a encore été atteint que dans quelques cas particuliers.
317 . Equilibre de température d'une sphère homogène. — En désignant par r le rayon de la sphère, nous aurons Téquation aux dérivées partielles
uQUATIONS AUX DËRIYÉES PARTIBLLRS. ^iS
avec la condition à la surface
U = F(a?, j, 5) pour a:* -f- ^' -+- s* = r*.
Posons
^ nr p siaôcos»}', ^ = p sin6 sin<J/, z = pcos6.
Nous avons vu (t. II, n** 236) qu'on satisfait à Téqualion aux dérivées partielles par la solution simple
Y„ désignant une fonction de Laplace, c'est-à-dire un polynôme homogène et de degré n en sin9 cosij^, sinO sint];, cosO, satisfaisant à l'équation aux dérivées partielles
dO^ sm*ô 0^^ (7O ^ '
Le polynôme Y» ainsi déterminé contient d'ailleurs 2/1-f- 1 constantes arbitraires dont il dépend linéairement.
En combinant ces solutions simples, on obtiendra comme nouvelle solution la série
A la surface de la sphère, où p = r, cette série se réduira à
Il reste à déterminer les constantes qui figurent dans les Y^, de telle sorte que cette valeur soit égale à Texpression
F(r sinO cos^l^, rsinOsin^/, rcosO),
que nous représenterons, pour abréger, par /(6, <{;).
Or nous avons vu (t. II, n°* 243 et suiv.) qu'on arrive à ce résultat en prenant pour les Y„ les valeurs particulières sui-
4v6 TROISiftaS PABTIB. — GHIPITKB IH.
vantes
où
P„ = X„(cosy) = X,4[cosOcosO'-hsinôsine'cos(4; — 4^')],
Xn désignant la fonction de Legendre.
318. Cette solution peut se mettre sous une forme plus élégante.
Remarquons, à cet effet, que la fonction générale Y^ est une somme de termes de la forme
A/jt sin'<|; cos*!}' sin' *-*6 cos'*~'~*6.
D^ailleurs le produit sin'<{/cos*^ s'exprime linéairement au
moyen des sinus etcosinusdesarcs(i-i-Âr)^|^, {i-i-k — 2)<j^,
Par la substitution de ces expressions, Y^ prendra évidemment la forme
Y„ = ^ [^«» cos/n4/ 4- e;„^ sinm^>] ,
m = 0 OÙ
V et V" étant des polynômes en cosô et sin^O, qui se trans> formeront en polynômes en cosO si l'on y remplace sin^O par 1 — cos*8.
Substituons le développement précédent de Y,| dans Téquation aux dérivées partielles qui définit cette fonction, et chassons les dénominateurs ; il viendra
= y I 9in«0 ^^ -+- sine cosO —J^ ^ [n(n -+- 1) sin«e- m«]e'«„ | cosmi-
.y I sin«e ^^^ -f- sine cose ^^ -h [n{n -h i) 9in«e - m^]&'^^ \ sinm^-
Pour que cette expression s'annule identiquement, il faut
EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIBLLBS. i^'?
évidemment que les termes qui contiennent le sînus et le cosinus de chaque multiple de <j^ s'annulent séparément. Donc chacun des termes de Y;,, pris à part, sera une solution de Téquation, et S'„^„, S"„^^^ seront des solutions de Téquation linéaire
sin'O^ -hsinOcosO— -h [/i(/i -+-i) sin*6 — m«]e = o.
Posons
e™Vsin"'e;
nous obtiendrons une transformée en V
d^W dW
dr- ^ ' (iÔ
-T- [/i(/i-f-i) — m{m -hi)]sin*6V=:o,
à laquelle satisferont V'et V".
Prenons enfin cos6=: [x pour nouvelle variable indépendante; nous aurons une dernière transformée
\ (l— fJL') -7-; 2(/7l -f- l)|X— —
(57) j^ ^ ^ d^L* "" ^^dlL
Cette équation se lie intimement à Téquation connue
(58) (I — jx») — — 2li^---h/l(/l-M)X = 0,
à laquelle satisfait le polynôme de Legendre X;,([x).
En effet, différentions m fois cette dernière équation; on
d^X obtiendra, pour déterminer --j-Tn> "^® équation identique à
(57). Les intégrales de (67) sont donc les dérivées m**"®' des intégrales de (58). Or le seul polynôme qui satisfasse à cette dernière (sauf un facteur constant qui reste arbitraire) est le polynôme de Legendre X^dx).
Les polynômes V, V, qui satisfont à (57), se réduiront
donc chacun, à un facteur constant près, à — Zfi,i' ^^ ^^^ J. — CourSj III. 27
4lB TROISIÈME PARTIE. — CnAPITRE III*
fonctions
seront égales, à des facteurs constants près, à Texpression
^ ^ ' dix'" 2'*. I . 2 ... /l é/|A"'+«
que nous désignerons par P^"(}jl).
