Cela posé, nous aurons
(59) Y;.=^'*P^(|A)[A«„cosm4/4-B«„sinm^],
et il restera à déterminer les constantes A et B, de telle sorte qu'on ait
2j^ ^""^^o 2ido ^"^ -^^ ^^""^ *^^®'^*"*" ^'»» sinm^] =/(e, ^).
Multiplions cette équation par cosrn^d^, et intégrons de o à 217; en remarquant qu'on a
/27Ï cosm^slnm'^d'^ = o,
o, si m ^ m',
m=im' ';> o, si m =: m' =. o, il viendra
/Î1C / o, si
cos m ^ cos m' ^d^z=z | tc, si
( 211, si
Xm étant égal, en général, à i, et à 2 si m = o.
Multiplions cette dernière équation par P^(|JL)rffJL et intégrons de — I à I, en remarquant que
( {n -^ m)l in ~\-i il viendra
►+» ( o> si /i > n',
> si /l=:/î',
I n rwi II i nt -«- f /
^nin-
'(^^I X /(«.«-"•♦■'jw'^''^-
On trouvera de même
.4-1 ^ttC I n — m II «B nL -4— r /
(î^'^XX /(«.*)--*p»(.)rf*e/..
420 TtOISlÈME PÀRTIK. — CUAPITRB III.
Substituons ces valeurs des coefficients A et B dans Texpression (39) de Yn et réunissons tous les termes sous un seul signe d'intégration, après avoir changé les variables d'intégration 6, 4^, [a en 8', ij^', jx' pour éviter toute confusion ; il viendra
.4-1 >,ÎTC
X I*™(ia) P» (î^') cosm(4/ — f )rff rf(i'. Mais nous avons précédemment trouvé cette autre valeur
ou, en prenant cos8'=[x' pour nouvelle variable d'intégration,
y„== ^iJ,.^"L y "y "/(»', f) P» '/'}'' ''i^'-
La comparaison de cette valeur avec la précédente donne Tégalité
qui permet d'exprimer la fonction
P„ = X„(cos^)^X„[ixix'-hv^r:=l?V*-~î^cos(iJ;-V)]
par une somme de produits de trois facteurs, dont chacun ne dépend que de Tune des variables [x, [ji', i^ — i^',
321. 11 est aisé de vérifier directement cette formule. En effet, P„, considéré comme fonction de 8 et t}^ — i/^ est unefonction de l'espèce ¥„; elle pourra donc se mettre sous la forme
P„^^"P,?(l^)[A,„„cosm(tl;-i}.') 4- B„,„sinm(i|. -<.')], où les coefficients A;,,», ^mn ne dépendent plus que de jjl'.
D^ailleurs P/i est une fonction paire de ^ — ^; donc les coeilicients Bmn seront tous nuls. De pins, P^ est symétrique en |x et |jl'. Donc Amn sera égal à CmP^*([J«.'), Cm désignant une constante.
Nous trouvons ainsi
(Go) P„r=^%,„PJ*(ix)P-(HL')cosm(i!.-.y)
et il ne resle plus qu'à déterminer les constantes Cm»
A cet effet, nous égalerons les valeurs principales des deux membres lorsque Ton y pose |jL=r [jl'=: oo; faisant, pour abréger, ^ — ^'= o, la quantité
cosf =^ t*'t*''~'" V ' — !^*V^' — t*-'* cosïp se réduira sensiblement à
|ji'(i — • cos^) — -2 sin- -ç.fx',
X,. (cOSy)^:: r -, (cOS'y — l)"
r-: J--^ .' CCS'» Y -4-. . .
aura pour valeur principale
ni 2 ^ *
sin ni
Mais
(2 0"'sin'-''-Mp— U«' ~e »^7
mm
:^ 2 I cosno COS(/J — l)o -I-. . .
D'autre part,
4aa TaOISlfeMB PARTIE. — CHAPITRB III.
La comparaison des termes en [x2»cos/w© dans les deux membres de Téquation (60) donnera donc, en posant >vto= 2 si /w > o, 1^ = 1 si m=z o,
— .'— !)/« r2/z(2/l — l)...f/l — w;^-4-0l« ' ^ L 2'* /il J ^'"^
iroù
322. Équilibre de température de l'ellipsoïde, — Nous devons satisfaire à Téquation
ôx\ dx\ dxl *
et à la condition aux limites
(62) U:=:F(j:,,^2, 573) pour J. h- ^ -|- ^ — u
A| Aj Aj
Posons
A, — Xq— <?,, Aj— Xq— e,, Aj^Xq— Cj,
ej -4- e. H- e, =1 o.
L'équation de Fellipsoïde deviendra
r' .rî x^
Xo <?| Xo Ci Xq ^3
Supposons, pour fixer les idées, qu'on ait
Par chaque point de l'espace passent trois surfaces du second degré homofocales
-f- -1 ^ ^zz I
X — e^ X — ^2 ' X — é?3 ' (t. I, n° 533), orthogonales entre elles; leurs paramètres 5i|,
Xa, X3 satisfont aux inégalités
Réciproquement, à chaque système de valeurs de ces paramètres satisfaisante ces inégalités, correspondent huit points réels, ayant pour coordonnées
a?a = — i / ^ > ( a zzz 1 , 2, 5 )
