On lèvera cette ambiguïté en posant
On a, en effet, d'après les notations adoptées dans la théorie des fonctions elliptiques (t. Il, n*** 367 et 371).
V/pM — ea=<3'ao"> VoL =
^(eR — ea)(ey — eaL) d'où
(63) o^a— 'iUâ(^ao«i<^ao«i^ao"3 (» = i|2,3).
Si dans ces formules, qui donnent les trois coordonnées, nous convenons de prendre partout le signe 4-, à cliaque système de valeurs de M|, i/a, Uz correspondra un seul point
Cherchons comment on devra faire varier Mi, Mj, u^ pour obtenir une fois chaque point réel de l'espace. Posons, pour abréger,
(X-ei)(X--eO(X-e,)=:/(X).
La première période
sera réelle et positive, et la seconde période 20)2 sera purement imaginaire.
Si X| varie de ^2 a ^3,
sera réel, et m< (ou du moins l'une de ses valeurs) variera en ligne droite de ot>2 à 032 + o>4*
Si 5.2 varie de e% k et, du2 sera purement imaginaire, et l'une des valeurs de u^ variera en ligne droite de (1)3 à
Enfin, si X3 varie de 00 à é|, <ie/3 sera réel, et l'une des valeurs de 1/3 variera de o à 0)4.
On obtiendra donc tous les systèmes de valeurs admissibles pour X|, X2, X3 et, pour chacun d'eux, un seul des huit points x^, x^j x^ qui lui correspondent, en faisant varier, en ligne droite,
Wj de toj à wj-h ci>i, u^ de b), à 0)3 + 0)2, U3 de o à Q>|.
Les autres points se déduiraient de celui-là en changeant les signes de ses coordonnées.
Ou les obtiendra tous et chacun deux fois, en faisant varier U{ de 0)2 à 0)2 H- 4^1 et u^ de 0)3 à 033 -|- 4^2.
En effet, les relations
(t. II, n® 371) montrent que Ton a
si u' -\- u o\x u' — u est une période. Or, à chaque valeur Ui de M, comprise entre tù^ et (i>2 H- 0)4 , correspondent, dans l'intervalle de (O2 à (1)2 + 4^1? trois autres valeurs de ce genre,
lij irz: 2(i)j-h atOj — ttj, tt^ ^= Mj H- 2ù)i, f/j =rr a'j -h 2 0),,
A chaque valeur U2 comprise entre 0)3 et «1)3 + ci>2 correspondent de même dans l'intervalle de 0)3 à 0)3 -h 4 Wo les trois
valeurs associées
W', = 2a)8-f-2Wj— Wj, m5Î= M,-|- 2(02, m'J = tt', 4- 2(0,,
Les i6 points
auront au. signe près les mêmes coordonnées zhXi, ± X2f drxa. On vérifie aisément que chacune des combinaisons de signes est reproduite deux fois. Ainsi {ui e/2^3) représentera le même point de l'espace que (u\ Wj^a), {u^ u^u^) le même point que {u\ u^ u^)^ etc.
324. Ces préliminaires posés^ prenons u^^ u^y u^ pour variables indépendantes, et cherchons la transformée de Inéquation différentielle (61); on a
dx
Vâ^u duk âui \} âU d-Uk ■ — [— %
^^k,i àuk dui dxa âxa ^k àuk dxl <I'où
2uaLàxl " Zàk àul Zdoi\àXa/
^k,i Ouk ôui ^ja ôxçt âxoL Zdk àuk Zdi Reste à calculer les sommes
ta àxi^ Or on a
àUk diifi d'k/i- I à'k/:
ôxa, " dkk àx^ ~ 2\f'/h: ^-^a'
^•^« ^ r Ai.^» \<^^a/ 2\'/li, àxl'
iAk)
4^6 TEOISIÈMB PARTIE. — CHAPITRE ni.
d'où ^ duk dui 1 V' dlk^ d'ki
Or, les surfaces )vA = const., X/ = const. se coupant à angle droit, on a
D'autre part, en dérivant par rapport à œ^ l'équation
et posant pour abréger
il viendra
Xt — ^a do:
D'ailleurs si, dans l'expression de S*, on remplace chacune des quanlités x^ par sa valeur
(Xi— ea)(Xa— ggXXa— gg)
il vient
(X/ — ea)(X,,, — gg) (X/ — Xa.)(X^ — Xi^)
(gp — ga)(^y — ^a)(^A— <?a) /^/
diaprés la formule connue de la décomposition en fractions simples (/, m désignent les deux indices de la suite i, a, 3 qui diffèrent de k).
On aura donc
Enfin Téquation ( 64) dérivée deux fois de suite par rapport à Xa donnera, en posant pour abréger
Sommant par rapport à a, il vient, d'après (66) et (67),
Comparant cette équation à la précédente,
il vient
et, par suite,
L'équation différentielle transformée sera donc
d'il
2d(h-'>^k){Kn-
\a) Oui
ou, en chassant les dénominateur et remplaçant X|, X2, A^
325. Quant à Féquatioii à la surface, il est aisé de la former. Soit u la racine de Téquation
comprise entre o et ci>i ; on obtiendra les points de la surface de Tellipsoïde, chacun deux fois, en posant u^ = u et faisant varier u^ de a>2 à W2 H- 4 W| , U2 de Ws à (O3 H- 4 W2 . La température en chaque point de Ja surface étant donnée, on aura, pour Uz= u,
(69) U=iz*(w„M,),
^ étant une fonction arbitrairement donnée de W| = coj à w^ = 0)2 -}- 4 o)| , et de ^2 = ^8 à M2 = Wj -i- 4 Wo . ( Elle devra d'ailleurs reprendre la même valeur pour les deux s^'stèmes de valeurs de Ui, u^ qui représentent le même point.)
326. On peut aisément trouver des solutions simples de Téquation aux dérivées partielles (68). Nous aurons vu, en effet (231), que pour chaque valeur de l'entier positif n on peut déterminer 2/1 -f- 1 valeurs de la constante h telles que. pour chacune d'elles, l'équation de Lamé
admette une solution particulière
. M(m)^NP
qui possède les deux périodes l\iù^ et 4^3» Posons, pour abréger,
Le produit M1M2M3 satisfera à Téquation aux dérivées partielles ; car le résultat de la substitution sera
MiM,Ms\ [/i(/i-f-i)paa4-/ï](jDwp — pay),
quantité identiquement nulle.
Celte solution simple, exprimée en fonction de ^Tj, X2, x^ sera un polynôme entier; car N étant un produit de facteurs de la forme ^ao^? NiN^Ns sera un produit de facteurs tels que
or»
D'autre part/PiP^Pa sera un polynôme entier et symétrique par rapport aux quantités put^ pu2^ pu^- Or celles-ci sont les racines de Téquation du troisième degré
