CL

dont les coefficients sont des polynômes entiers en x^ ,

327. En associant les solutions simples qui précèdent, nous obtiendrons une série

'^ CkW.^^^Xfw;;'

qui résoudra le problème proposé si les coefficients Ck peuvent être déterminés de manière à satisfaire à Péquation de la surface

(70) ^C/,M'/'^Mi'''mS,^*> = 4>(«„ u,\

7W^3*^ représentant la valeur de Ml,*' pour M3 =:= u.

328. En admettant provisoirement que la fonction ^ soit susceptible d'un développement de la forme (70), il sera aisé d'en déterminer les coefficients.

43o TROISIÈaiB PARTIE. — GHÀPITRB IH.

Multiplions, en effet, l'égalité (70) par M^/' Mi/' (put — pwa) et intégrons par rapport à Ui de 0)2 à co^ + 4^i ) ^^ P^^ rapport à ^^a de CO3 à cos -4- 4 ^2 ; l'intégrale double

Q M;^' m;*' M\'» My*» {pui - j)i/, ) du, du^,

qui multiplie Ckm}^\ est le déterminant des quatre intégrales simples

Il = Tm^'» Mi^'ptti du,, I, = Tm^'ï mfpu^du^,

i,= Cwi' Wf'duu J,=: Tm'/^ Mi*» £/«„

Ce déterminant est nul si i^k.

En effet, M^'^ M^*^ sont solutions de deux équations de Lamé différentes, telles que

\n{n -+-i)pi£-h /i]M<')=:io,

du é^^M<^) du-

On en déduit

— [n\n/-r- i)pu-r- /i'jMt*^ = 0.

[n(n ^ 1) — n'{n' + i)]M(')Mt*)pa -f- (A — A') M«')Mt*> ^.,,,^M(') „,,, cf*M(*>

r= — Mv*) — j M<'J — :; — .

au \ au du \

Intégrons de (i>2 à (O2 + 4 <^i • Les fonctions M admettant la période 4^i} l'intégrale du second membre sera nulle, et il viendra

\n{n 4-1) — n'(n' -h 1)] I^ 4- (A — A') Ji = o.

Intégrant de co^ à 0)3 + 4 <^a ^^ trouverait de même

[n{n H- 1) — /i'(/i' -+- 1)] Il -h (A — A') Ji = o, d'où

IiJ, — I,Ji = o,

à moins qu'on n'ait à la fois n = /i', h = A', d'où i = k.

Calculons ce même déterminant dans l'hypothèse où i = k. Les fonctions W^^W^^pu^ M^*^Mf*> admettent les périodes 2(0|y 2(1)2; elle sont paires et n*ont de pôle que pour u=^o. Décomposées en éléments simples, elles seront donc de la forme

M<*)M<*îpw rrz a* -i- a*pM -f- a.^p" u

Intégrant de coa à (o^ -j- 4 Wi ? îl viendra

Il ==r 4a^a)i — 4ao^i» Ji — 4P*««'i — 4PÎ'îi,

En intégrant de (1)3 à coj -|- 4w2i on aurait de même

et, par suite,

I,J,-I,J, = l6(a*pJ-aJP*-)(r,,a>,-7),u,,)=^8ir/(a*p*~a*p*). On aura donc, pour déterminer ca, la formule

329. Il reste toutefois à établir que la fonction arbitraire ^{Ui, 1/3) admet effectivement un développement de la forme (70). Nous y parviendrons par les considérations suivantes :

Soient :ri, X2j x% et r, u^^ U2 deux systèmes de variables liés par les relations

On en déduit aisément

^xl^r\

Ces équations représentent une sphère et deux cônes homofocaux, qui se coupent à angle droit.

A chaque point réel ^i, ^r^, x^y correspondent : i^ une seule valeur de r ; a° deux racines de Téquation