X -Cot
dont la première, X| r=pM,, sera comprise entre e^ et e^ ; et la seconde Xj =^ p u^ entre e^ et e\ ; 3** deux systèmes de valeurs de U\^ u% tels que U\ soit compris entre (U2 et (t>2 + 4<<>i7 6t ^2 entre cos et (O) + 4^3*
Réciproquement, si le point {u\^ e/2) parcourt le domaine ainsi défini, le point (^1, 0*3, X3) décrira deux fois la sphère de rayon r qui a l'origine pour centre.
330. Si Ton prend r, i/f, e/2 pour variables indépendantes, Téquation du potentiel
ùx\ ■"
se transformera en
d^\} Y Ail Êni
^ V ^ ^ V ^llil ^^ S — ' — dr ^ dx\ ôui ^ Oxl dw, ^ c^j:'J ~~
Les termes de la seconde ligne disparaissent, car les surfaces r =: const., «I ^^ const., Ma = const. étant orthogonales, on a
dr ôux
L'équation
dxa. dXt
xl -" /•«
donne, d'autre part,
d'où
D'autre part, les équations donneront, comme au n^ 324,
Z\àJrJ '-4/X. S,'
Làxl
en posant, pour abréger,
Or on a ici
ea?
d'où
On a donc finalement
On trouvera de même,
L'équation du potentiel aura donc pour transformée la suivante :
U I fd^l] d«U\ 2 dV
dr^ r^(put — pui)\du\ àu\ j r âr J. — Cours, III. a8
434 THOISiftMB PARTIE. — CHAPITBB III.
OU
Cela posé, on sait (t. II, n** 236) que pour chaque valeur de l'entier positif n il existe 2/1-hi fonctions Y» linéairement distinctes et défînies par cette double propriété :
1° Les fonctions r"Y«, (où r= \/x'-j-y^-^ z^) sont des polynômes homogènes d'ordre n en Xi^ X2, Xz] 2** ces polynômes satisfont à Téq nation du potentiel.
Mais nous venons de voir qu'à cette même valeur de n correspondent 2/1 + 1 valeurs de h pour lesquelles l'équation de Lamé
•^t —[n{n-\- \)pu -+- A] M z= o, admet une intégrale doublement périodique de la forme
Les produits correspondants
seront précisément les 2/1-f-i fonctions Y„ exprimées an moyen des variables e/f, 112-
En effet, soit A* le degré du polynôme P; N| N2 sera un produit de 71 — k facteurs tels que
Ufli r
D'autre part, Pt Pg sera un polynôme en pui, pu2 symétrique et de degré n par rapport à ces deux quantités; ce sera donc un polynôme d'ordre n en pui pu^ et pu^ -h pUf Mais les équations
permettent d'exprimer les quantités
en fonction linéaire et homogène des trois quantités -^'
Donc la fonction r^M^MairrU sera bien un polynôme homogène et de degré n en a:i, 0:2, x^. Il reste à s'assurer qu'elle satisfait à l'équation (71).
Cette vérification est immédiate, car on a
j^ — [n{n-^\ )pui -h A] U,
oui
c//* or ^ '
Le développement de la fonction arbitraire O en une série de termes M«, M2 sera donc possible, aux mêmes conditions que le développement en série de fonctions Y„; ces deux développements, identiques au fond, ne diffèrent l'un de l'autre que par le choix des variables indépendantes.
331. Refroidissement dune sphère homogène. — Soit r le rayon de la sphère ; nous aurons l'équation aux dérivées partielles
dt ~^ \dx^'^ dy^ "^ âz avec la condition initiale
