D'autre part, les intégrales

^sin(p'— p)Arfp'

r^ ' f f Mi ^ f I — COS(ft — p)A.

/ sin (p'— p)Aûfp'= — — ^ ^ —

r^ t I \K ^ I sin(^ — p)A

/ COS(p'— p)Ac/p'rr- --I- ,

ces (2r — p — 6)A — CCS ( 2 r — ^p)A

* MA^/ sin(2r — p — ô)A--sin(2r — 2p)A ces (2 r — p — p') A ap'=:^ ^- —

/ sin (2 7* — p — p')Adp':= Jp

sont limitées et, pour A = oo, tendent uniformément vers les limites respectives -> o, o, o, o. Soient

f cp(p',A)Jp'

l'une quelconque de ces cinq intégrales; G la limite vers laquelle elle tend. Il sera aisé de trouver la limite de l'intéfi^rale

par la méthode employée au tome II, n" 221. On a, en eOet, "k désignant une constante,

Appliquons à la seconde intégrale le second théorème de la moyenne; il viendra

f •(p',A)/(p',A)rfp' =f{p + \,k)f ^(p',A)dp'+/ib,X)f <f(p',A)dp'.

Pour A =00, les deux intégrales ci-dessus tendent uniformément vers zéro (pour plus de détails, voir Tendroit cité); et leurs multiplicateurs tendent également vers zéro (ou tout au moins restent fixes, si /ne dépend pas de A).

Reste la première intégrale

r" <p(p',A)/(p',A)6fp'

-=/{p,X)f ^{p\k)dp'-^f " [/(p',A)~/(p,A)]^(p',A)rf/. */p •/p

Le premier terme lend, pour A =: cx>, vers G lini/(p, A).

458 TKOISlbME PARTIE. — GUAPITRK III.

Appliquons à l'autre le second théorème de la moyenne; elle devient

[/(p + >,A)-/(p,A)]y''" <p(p',A)rfp',

i étant compris entre p et p + X.

L'intégrale qui figure ici reste finie; son multiplicateur tend d'ailleurs vers zéro pour A =00, s'il dépend de A; sinon, on pourra le rendre aussi petit qu'on voudra en faisant décroître "k.

Nous obtenons donc pour la limite cherchée

Glim/(p, A).

347. Tous les termes des intégrales (94) pouvant être traités de même, et G étant d'ailleurs nul, sauf pour la première d'entre elles, pour laqueUe il est égal à -9 la limite cherchée sera, en désignant par R© ce que devient R pour

1tp2A^«.', COS* rtl ' \2 2p/

,. /•- rdt ( , R„\

Mais, lorsque A tend vers 00, Rq tend uniformément vers zéro. L'intégrale se réduit donc à son premier terme

rdt

Posons 6'"'= u\ cette intégrale se transforme en

/* udu r —I "1* *

Doublant ce résultat d'après le n° 339, on obtiendra-» ainsi qu'il fallait l'établir.