I. — Première variation des intégrales simples

348. Soit <p(^, jKj J'', ••• yy"*'',^^ ^'î • • -î^"? ...)une fonction de la variable indépendante x, des variables dépendantes yy z^ . , . et des dérivées de ces dernières jusqu'aux ordres m, n, . . . respectivement.

Si nous changeons y, z, ... en ^ -f- stj, 5 4- e?î, . • . (ti, Ç, . . . désignant de nouvelles fonctions de ^ et e une constante infiniment petite )j^*, 5*, ... seront changés en j^*-{-eTj*, a* 4- eÇ*, . . ., et <p en

*(ic, 6)=i(p(a?, j-hÊ7i,y-heT)', . . .,i;-HeÇ, .. .).

Cette expression, développée par la formule de Taylor suivant les puissances de e, prendra la forme

en posant, pour abréger,

Les quantités £91, e^o^, ... se nomment les variations

46o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.

première, seconde, etc. de la fonction ç, et se représentent par les symboles 8<p, S^ç, ....

On a, d'après cette définition,

ly r^er,, 8/ —et/, ..., $5 =eÇ, ...;

Ô-Jr=:0, 8*j' = 0, ..., 8*5zirO, ....

Il est clair, d^ailleurs, que cpi, (p2ï • • • ne sont autre chose que les dérivées partielles -r-> -^t' '*' P^^r Isi valeur particulière e = o. Or on a généralement

Pour e=o, -r-;^ se réduira à ç;t= — û*y et -r^ -3— j a

-^8*-i-^' Substituant ces valeurs dans Téquation précédente et multipliant par la constante e*, il viendra

Cette équation montre que les deux opérations de la dérivation et de la variation peuvent être transposées.

3i9. Les équations (i), respectivement multipliées par e, e-, . . . , pourront s'écrire

Si les fonctions j^, z, • . . , au lieu d'être données immédiatement en fonction de ^, étaient exprimées au moyen de x^ ty t'^ . . .\ ii<i u'^ ... ; . . . , où t^ II, ... désignent des fonctions de X, le changement de ces dernières fonctions en ^ -+- er, a -i- eu, ... transformerait y, z^ . . . en y -h oy ^ ^ ^^y

CALCUL DBS VARIATIONS. 46 1