Considérons encore l'équation

OLX dy -h p/ cte H- x'^^y'^i^ax dy -f- bydx) = o.

On a

(aj7 dy -+- P/ dx)x^-^y^''^ = d{x^y^).

ÉQUÀTIOlfS DIFFÉBEIfTlBLLBS OBDIlfÂIEBS. 27

L'expression générale des multiplicateurs qui rendent intégrable oLxdy -^^^y dx sera donc

On voit de même que l'expression générale des multiplicateurs de x^y^(^ax dy -|- by dx) sera

Il résulte de là que x^y^ rendra séparément intégrable chacune des deux moitiés du premier membre de l'équation proposée, et, par suite, sera un facteur intégrant, si l'on a

X =ia — i-i-a5=:flr — i — n 4- a*»),

Ces équations simultanées détermineront aisément \^ t^, \ [1, si le déterminant a 6 — ^a n'est pas nul. Si ce déterminant était nul, on aurait

et l'équation se réduisant à

(i -h kx'^y'^) {axdy -H ^ydx) =0 serait intégrable sans diflGculté.

24. Considérons enfin, avec M. Darboux, les équations difierentielles de la forme

kdX-^BdY-hC{YdX--XdY)z=zo,

où A, B, C désignent des fonctions rationnelles de X et de Y.

Ces équations prendront une forme plus symétrique si l'on remplace, comme dans la théorie des courbes algébriques, les ^^ables X, Y par des coordonnées homogènes, en posant

ax -\-^y -\-^s ax -h^y -h^s

38 TROISIÈMB PART». — CHAPITRE I.

On en déduira sans peine pour rfX, rfY, Y rfX — X rfY des expressions de la forme

a{ydz — sdy) •+- b{zdx — xdz) -\-c{xdy — ydx)

Ces valeurs, substituées dans l'équation proposée, donneront une transformée de la forme

(7) L{ydz — zdy)-^M{zdx — x dz) -h^(^ dy — y dx) = o,

L, M, N étant des fonctions homogènes en Xj y^ z, et d*un même degré, que nous désignerons par m. Cette équation peut encore s'écrire ainsi

(8) ¥dx-\-qdy-^Kdz=io,

en posant

P = M5 - Nj',

K=^Ly — iMx; doù

(9) Pd?-hQj'4-R5 = o.

23. Pour chaque point Xy y^ z à\x plan, la direction de la tangente à la courbe qui représente géométriquement l'intégrale sera donnée sans ambiguïté par l'équation (8). Il y a toutefois exception pour les points où l'on a simultanément

P = o, Q=:o, R=io,

pour lesquels l'équation (8), étant identiquement satisfaite, n'établit plus aucune relation entre dx^ dy, dz.

Ces points singuliers sont évidemment les seuls par lesquels puissent passer plusieurs branches de courbes distinctes satisfaisant à l'équation différentielle. On peut donc affirmer que tout point multiple d'une courbe intégrale ou tout point d'intersection de deux courbes intégrales est nécessairement un point singulier.

Cherchons le nombre \ de ces points singuliers. Nous re-

ÉQUATIONS DIFFÉRBNTIELL18 ORDINAIRES. 39

marquerons, à cet effet, que les points communs à P = o, Q=: o, en nombre (m + i)^y satisfont en vertu de (9) à la relation Rz = o. On aura donc

i\ étant le nombre des points communs à P = o, Q = o,

D'autre part, les m + 1 points communs à P =: o, z = o

satisfont à la relation Q^ = o. D'ailleurs, un seul d'entre

eux, savoir ^ = 0,^=0, satisfait à ^ = o. Les m autres

donneront

donc

7) = m et Ç = m* 4- m 4- 1 .

26. Cherchons maintenant la condition pour qu'une courbe algébrique

soit une intég;rale de l'équation différentielle. On trouvera, en (liiTérentiant l'équation ci-dessus,

-^dx-^ -f-dy -h ^dz = o.

dx dy ^ oz

On a d'autre part, pour tout point de la courbe,

df df df ,

dx -^ dy âz ^•'

p désignant le degré de la courbe /= o. Des deux équations précédentes on déduit celle-ci

EL ^ Ûf

dx Oy dz

y dz — zdy z dx — xdz xdy — y dx

doDt la combinaison avec l'équation différentielle (7) donnera

ox oy dz

Le premier membre de cette équation est un polynôme entier. Puisqu'il s'annule pour tout système de valeurs de x^ y, Zy tel que l'on ait /= o, il sera divisible par/; on aura donc identiquement

ox oy oz •"

K étant un polynôme entier, de degré évidemment égal à m — I.

Telle est donc l'équation de condition cherchée, laquelle peut encore s'écrire ainsi