Pour tout point singulier de l'équation différentielle
on aura
d'où
^"" 7 "~ -' Soit X la valeur commune de ces rapports. On aura
Substituant ces valeurs dans (lo), il viendra
Les points singuliers seront donc de deux sortes : 1® Ceux qui sont sur la courbe /= o; 2*^ Ceux qui ne sont pas sur cette courbe, et pour lesquels on aura nécessairement
Dans le cas où la courbe /n'a pas de point multiple, il est aisé de déterminer le nombre des points singuliers de la pre-
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 3l
mière sorte. En effet, "é"^ "^^ ~^^^ pouvant s*annuler simultanément, l'équation (lo) donnera, d'après un théorème d'Algèbre connu (Darboux, Bulletin des Sciences mathématiques, a* série, t. II),
P oy dz
P az ox
P OX dy
et, par suite,
- = ("|-wg).-(vi-u|).
= />U/ (Ua; + V^-l-W-)^,
Q=pV/ - (Va; + Vj -h Wz) ^,
R =pW/- (Ux + Vy + Ws) ^,
oz
U, V, W étant des polynômes de degré évidemment égal à m^p-^ I.
Ces équations montrent immédiatement que les points singuliers cherchés sont les intersections de la courbe /= o avec la courbe de degré m — /> -+- a
\Jx -4- V/ -h W^ = o.
Leur nombre sera donc
28. Cela posé, nous allons établir que, si l'on connaît un nombre sufBsant d'intégrales particulières algébriques, on pourra en déduire l'intégrale générale de l'équation proposée.
Soient /= o, /i = o, ... ces intégrales particulières; p^
3a TROISlteiB PARTIB. — CHAPITRE 1.
/?i, • • • leurs degrés respectifs. En posant, pour abréger,
on aura (26)
La fonction ç = /«/*«, ... satisfera à une équation analogue; on a, en efTet,
Atp = a ^ A/-h «1 -|- A/i-+----=(«K-+-a,K,4-...)(p.
Si les constantes a, ai, ... peuvent être déterminées de telle sorte qu'on ait
et
(12) a/? 4- «1^,4-, . .zr: — 771 — 2,
l'expression cp sera un multiplicateur qui rend différentielle exacte le premier membre de l'équation différentielle.
En effet, il faut et il suffit pour cela qu'on ait les trois équations de condition
dy dx
Développant et remarquant qu'en vertu de l'équation (12) ç est une fonction homogène de degré — m — 2, d'où
ces trois équations se réduiront à l'équation unique
que nous supposons satisfaite.
Les deux membres de Téquation (11) étant des polynômes homogènes de degré m — i, leur identification donnera
ÉQUàTIOHS DIFFfiBBNTIBLLBS ORDINÀIBBS. 33
équations de condition distinctes, linéaires en a,
a,, .... Le nombre total des conditions à remplir sera donc
— ^ ' -h I , et il suilira, en général, d avoir — ^^ -h i
intégrales particulières pour obtenir un multiplicateur et en déduire par quadrature l'intégrale générale.
â9. Ce résultat serait en défaut si le déterminant des équations de condition était nul; mais, dans ce cas, on pourrait déterminer les quantités a, de telle sorte qu'on eût
( aK -4-a,K,-H. . .= o,
( ap -t- a,/>, -h ... =2 o.
Or il est aisé de voir que, si ces conditions sont satisfaites, tp = con.st. sera l'intégrale générale de l'équation proposée. En e(Tet, ^ étant homogène et de degré zéro, on aura
dv âo d^
D'autre part,
d'où
De ces relations combinées avec Téquation difTérentielle on déduit
„— ^^^x^?^^x^^d'oll
o= ^dx-^ ^dy-^-^dz — dOf dx of '^ OZ
9 = const.
Les équations (i3) équivalant à — ^ hi équations
linéaires et homogènes en a, ai, ... pourront toujours être satisfaites si le nombre de ces quantités est au moins égal à J. - Cour», III 3
34 TROISIÈME PàRTIB. — CHÀPITaB I.
— ^ -+- 2. Mais, dans la plupart des cas, les équations
de condition ne seront pas distinctes, ce qui réduira le nombre des solutions algébriques nécessaires pour l'application de la méthode.
En effet, pour que le polynôme aK-+-a, K| -t-. . . soit
identiquement nul, il suffît qu'il s'annule pour —
points Xy y^ z; ^4, yi, Zt] ...; car on obtiendra ainsi — équations linéaires et homogènes entre ses coefficients. Ceux-ci seront donc nuls, à moins que le déterminant de ces équations ne soit nul (ce qui aurait lieu dans le cas oîi les points considérés seraient tels que toute courbe d'ordre m — i qui passe par quelques-uns d'entre eux passe nécessairement par les autres).
Cela posé, soit x, y, z un point singulier qui n'appartienne à aucune des courbes /,/i, On aura, pour ce point,
d'où
aK H- «1 Kl 4- . . . = X («/> -+- a,/>, -+-...).
L'équation de condition aK 4- «i K.| -}- . . • = o, relative à ce point, fera donc double emploi avec l'équation
Si donc il existe q points singuliers qui n'appartiennent à aucune des courbes f^ f\^ •-- (et qui ne soient pas tels que toute courbe d'ordre m — i, qui passe par quelques-uns d'entre eux, passe nécessairement par les autres), on pourra les prendre dans la série des points x, y^ z\ x^, y^^ z^\ , , ,, pour lesquels on doit exprimer que aK 4- «i Ki 4- . . . s'annule, et le nombre des équations de condition distinctes se
réduira à f- 1 — y. H suffira, pour y satisfaire, d'avoir '- -f- 2 — q intégrales particulières algébriques.
ÉQUÀTIOlfS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 35
30. Supposons, par exemple, que l'on connaisse [jl intégrales algébriques /= o,/i = o, ... sans points multiples, ne se touchant mutuellement nulle part, et telles que la somme /> -4-/?i -h . . . de leurs degrés soit égale à /?? -h 2. Nous pourrons construire l'intégrale générale. H suffit en cQet, pour cela, qu'on ait
Pour vérifier que cette équation est satisfaite, nous remarquerons que chacune des courbes données, telle que/, passe par /?(/w -4- 2 — p) points singuliers, qui sont précisément ses points d'intersection avec les autres courbes du système Chacun de ces points se trouvant sur deux de ces courbes, leur nombre total r sera
Le nombre q des points singuliers qui ne sont sur aucune de ces courbes sera donc
Substituant dans l'équation de condition précédente, elle
devient
fH-}S/>*=|m-+-3.
Le cas le plus défavorable pour l'existence de l'inégalité cidessus est celui où tous les nombres p sont égaux à l'unité. En effet, si nous remplaçons un de ces nombres p par deux autres />' et //, tels que l'on ait p' -\' p" =^ Pi |a sera accru d'une unité, et |S/>^ sera diminué de ^(/?* — p*^—p'^'^) = p'p\ quantité au moins égale à i.
Or, si tous les p sont égaux à l'unité, on aura
et les deux membres de l'équation sont égaux.
36 TROISifcMB PARTIE. ^ CHAPITRE 1.
