xM^^-f-NSy
en posant, pour abréger,
Mir:--^
^- /r-4- .r'*^ /Vt'j — 2g{z — vo.)
Nz=
^- \Jl 4- ^'* 4- /* \/t'J — 2^(5— Co)
Les deux équations difTércntielles de la courbe cherchée
M = o, N 1^ c donnent immédiatement
v/i -h x'^-hf* \Jvl — 2é'(5 — 5o)
cl, par suite,
r, C|, C2 étant des constantes.
On voit ainsi que la courbe cherchée est située dans un plan vertical. Pour mieux reconnaître sa nature, choisissons
ce plan pour plan des xz; on aura, dans ce cas, ^ = o, et Féquation difTérentielle de la courbe se réduira à
d'où
en posant, pour abréger,
Posons
a — b a -\- b z cos^;
il viendra
dx a -h b . , a-h b . / \ — cos t
— T- r= smf.J^'n: Sin^i/
dt 'i 2 V ' "^ cos t
=i{a-\'b) sin* | i =i [ i — cos ^ ],
d'où
(i8) X — [i — sin^]-4- Â:,
k étant une constante.
Les équations (17) et (18) peuvent s'écrire
a^b z-h bz= (1 — cosO»
a? — k^=: (t — sin / )
et représentent une cycloïde dont la droite directrice est dirigée suivant l'axe des x.
Si les points Xq, ^o» ^oî ^i? y\y Z\ sont supposés fixes, oj^o, S/o) 3^0, Sa:,, S/,, Se, seront nuls, de sorte que H s'évavanouira de lui-même. Mais les quatre constantes introduites
par l'intégration des équations M = o, N = o se détermineront en exprimant que la courbe passe par les deux points donnés.
Supposons, au contraire, que, le point (^o» J^o? -^o) étant fixe, la position du point (^o J^o ^i) ^^ soit pas donnée d'avance, mais qu'il soit seulement assujetti à se trouver sur une surface
On aura encore 8:ro= oyo = Zzq = o; quant à Sj^i, 8^4, 5zi, ils seront liés par l'équation de condition
Toutes les fois que cette condition sera remplie, la quantité H, qui se réduit à
devra s'annuler; on aura donc les équations de condition
qui, jointes à t{; = o et aux équations qui expriment que la courbe passe par x^^ ro, ^0 et par x^^ y^ -Cj, détermineront les consitantes d'intégration et les coordonnées finales ic«.
Les équations (19) expriment é\*idemment que la tangente à la courbe cherchée au point (^i, J^o Zt) est normale à la surface ^ = o.
Supposons encore que, {xoij'o^ ^0) étant fixe, (x^j^i, z^) soit assujetti à se trouver sur la courbe
Les variations ùXt , Sj^i, S>Z| seront liées par les deux équations
m-'-(Mh'
OXi-{- X^ ÙZi) -+-
-^ri <>-i)=o»
et toutes les fois que ces conditions seront remplies, l'expresrjon devra s'annuler, ce qui donne l'équation de condition
fd^\ fd-^\ {d^\ î \dzj, \dJo), \dy), I
[dlj, [dij, \Ty)^
qui, jointe aux équations •} = o, ^==: o et à celles qui expriment que (xo^yoy ^o) et (-r<, j^o ^i) sont sur la courbe, déterminera encore toutes les inconnues du problème. Cette équation exprime que la courbe cherchée est normale à la courbe 'i r=: o, y = o.
Le cas où (xq, jKo> ^o) serait lui-même variable se traiterait de la même manière.
366. Ligne de longueur minimum entre deux points- — Soient Xo, y^^ z^^ et j;,, y^, z^ les deux extrémités de la ligne cherchée. Nous supposerons, pour plus de symétrie, les coordonnées x^ y^ z exprimées en fonction d'un paramètre t. On pourra évidemment passer de la ligne cherchée à toute autre ligne infiniment voisine en faisant varier Texpression de x^ y, z en fonction de t, sans altérer les valeurs initiale et finale /q et tf de ce paramètre. Nous aurons donc à annuler la variation de Tintégrale
1= f dszzzÇ sjx'^-hy'^ + z'^dty où les limites ^o> ^i restent fixes.
On a
où
M zi= — 9 N ^^ — ^ — ^^ , ....
Les équations M = o, N = o, P -- o donneront, par Tinlégration,
jc' y'
, -"Consl., — - — '-^^ — ^rconst.,
d'où
x' m coiist. , y' —. const. , *;' - - const. ,
et eniin
(20) a?:- a/ 4- a, y =^ f^^ •- ?y iî 1= c^ -f- *'
équations d'une droite.
Si les points Xq^ yoj ^oj ^i> J^i» ^i s^^^t donnés, la condition de passer par ces deux points achèvera de déterminer la droite; il restera encore deux constantes indéterminées dans les équations (20); mais cela doit être, car ou peut changer dans ces équations t en mt -H /i, /n et /i étant deux arbitraires, sans altérer leur forme et sans qu'elles cessent de représenter la même droite.
Supposons que, le point (jTo, J^o» ^0) étant fixe, {-JCi^yt^ zi) soit inconnu, mais assujetti à se trouver sur la surface
On aura, entre les variations 8xi, 0^1, ô^i, la relation
i88 TROISIÈME PARTIE. - GHÂPITRB lY.
et, SOUS celte condition, Texpression
doit s'annuler, ce qui donne, pour achever de déterminer la droite et les coordonnées ^4,^1, z^, les deux équations
<^*^i àyi âz^
lesquelles expriment que la droite est normale à la surface {>•
Si (^1, J^o Zi) était sur une courbe
on trouverait de même IVquation de condition
f)'l^ â^ à^ I ; d/'i âyi dz^ I
' /^X ^ 5^ C^i ^Ji ^^1
qui exprime que la droite rencontre la courbe donnée normalement.
307. Lignes géodésiques. — Supposons que la li"^ne de longueur minimum à mener entre les points (a:©, Vo, Zq) et (j;,,yi, :;,), au Hou d'être située d'une manière quelconque dans l'espace, soit assujettie à être tracée sur une surface donnée
Nous avons à rendre minimum l'intégrale / dsy x^ y^z
étant astreints à la condition tj^ = o. Il faudra, pour cela, chercher le minimum de l'intégrale
K : - / (\^X'^ -i- y ^ -\- Z'^ -+- l^) dt.
On aura
H, M, N, P ayant les mêmes valeurs que dans le problème précédent. Les équations diflercntielles à joindre h réquation •il = o pour déterminer la courbe cherchée et Tinconnue auxiliaire X seront donc les suivantes :
ci œ'
dx
ÔY
f^ih Q^ U'^
Or - -, -- ) ~ sont proportionnels aux cosinus dîrecox Oy ôz * ^
leurs de la normale à la surface i^\ mais, d^autre part,
ci x'
• • sont respectivement proportionnels
JZ >
aux cosinus directeurs de la normale principale à la courbe cherchée (t. I, n'' 483). Les équations (21) expriment donc cette propriété géométrique de la courbe cherchée, que sa normale principale se confond avec la normale à la surface sur laquelle elle est tracée.
Les lignes définies par cette propriété se nomment lignes géodésiques.
368. Il est généralement avantageux, dans l'étude des lignes géodésiques, de représenter la surface considérée non plus par une équation entre x^ y^ z, mais par un système de trois équations, donnant .2:, y^ z en fonction de deux paramètres w, i^. On aura, dans ce cas, pour ds, une expression de la forme
ds = v^M du^-h 2f^dudç-hP dv^ .
Une ligne tracée sur la surface sera définie en joignant aux
équations de la surface une nouvelle relation donnant u cd fonction de v.
Si Ton fait varier la fonction u sans changer les extrémités "oi ^'oî U\i ^\ de cette ligne, on aura, pour la variation de l'arc, l'expression
^f. / 1 -T- du'^-\- i-.r-dudv-^^r' dv^\Zu-\-'2. (M du -t- N dv)dh
, r j I \àu du du J
j *=y ^di
Intégrant par parties le terme en d^u et égalant à zéro ce qui restera sous l'intégrale, on obtiendra l'équation différentielle des lignes géodésiques sous la forme
, . ^M , , à^ , . dP,, . Mdu-\-'^ds^
( 22 ) -— du^ -^ 2 -V- du dç 4- - — dç* zn 2asd
ou ou du as
Cette équation du second ordre peut être remplacée par un système de deux équations simultanées du premier ordre entre w, i^ et l'angle 9 formé par la tangente à la ligne géodésique en chacun de ses points avec la tangente à celle des lignes V =: const. qui passe par ce même point.
A cet effet, considérons le triangle infiniment petit formé par les points A, B, C, dont les coordonnées sont respectivement w, v; w, i^-hrfi^; u-h-du^ v-\-dv; on aura sensiblement
AB = F ch^, BG --=. M du'', AC = ds^-, ÂCB=rO, ABC "T — a>;
o> désignant l'angle des deux lignes u et v qui se croisent au point A.
On aura, par suite, en appliquant les formules connues de la Trigonométrie,
t/5- — M du'' -f- P (if* -h 2 v/MP du dv cos a>,
d'où
N v/MP - N*
cos (1) =r zz-^ , Sin W r:r - «
v/MP v/MP
piiîs
ds y/Prft^^ sino) sinO ^
d'où
(23) , a^sinOm- -^ clv
et enfin, en projetant le triangle sur BC,
M du -f- N 6?p
( 24 ) ^.Ç COS 6 ■=: ^/M ^f/ -h V^P e/t' COS 0)
La division membre à membre des deux dernières formules donnera
(20) cotO = - - — ___ — .
Il ne reste plus qu'à transformer l'équation (22). On aura
, , M du -h N dv
idsd ;
ds
= 2 </se/y/Mcos6
c)M , {}M , \ c^5cos6 /îT » . A .
du ôv ) ^M
Remplaçons rf5COs8 et cf^sinO par leurs valeurs, substituons dans (22) et réduisons ; il viendra
i-r~- du -\- — dv .— du
^ ou au ov
Les équations (20) et (26) sont les deux équations différentielles cherchées.
• 369. Lorsque les lignes u et v sont orthogonales, on a N = o, et les formules (2^) à (26) prennent la forme plus
simple
cfecosB m y/M <yw,
dP . ()M
(a8) j-dv — -p<iM-^2v^JVlPrfô = o.
