Appliquons ces formules à l'ellipsoïde
X^ yi r-A
en prenant pour lignes « et i^ le système de ses lignes de courbure.
Nous avons trouvé (t. I, n** 538) la valeur du carré ds^ de l'élément de longueur dnns l'espace rapporté à un système de coordonnées elliptiques X|, X2» ^s» En chaque point de l'ellipsoïde considéré, on aura ^4 =:=o; les coordonnées de ces points ne dépendront donc plus que des deux paramètres Xj et \^j que nous désignerons par u et v. On sait d'ailleurs (t. I, n® 540) que les courbes M = const., ç^ = const. seront les lignes de courbure de l'ellipsoïde.
Posant donc î^ r=r o, X2 = w, )v3 = (^ dans les valeurs de x^, y^^ z^^ ds^^ il viendra
"^ "^(X-HKA-Gy
^' "" 4(AH-«)(B-i-w)(G-t-e/)^
CALCUL DBS YARIATIONS, ^93
On aura donc ici
4 (A-Hw)(B-»- u)(Ci-u) N =0,
4 (A-+-r)(B-hr) (C 4- i') et, par suite,
àP l ^ P
ÔM M
Substituant ces valeurs dans l'équation (28), il viendra
Mdu-hP dv 4- 2(f/ — V) v/MP d^ — o
ou, en remplaçant M et P par leurs valeurs tirées des équations (27),
cos'ôt/t'-l- sin-6^a4- 2(a — c) sinOcosOrfô = 0.
Celte équation s'intègre immédiatement et donne
( 29 ) u sin* 0 H- (^ cos^ 6 := c,
c désignant une constante.
L'équation (29) peut s'écrire
{u — c) sin'ô -\- {v — c) cos*6 1= o
ou, en remplaçant sinO et cosO par leurs valeurs,
{u — c)Pdv^-\-{v—c)}Adur":zio.
Substituant eniln, pour M et P, leurs valeurs et séparant les variables, on aura Téquation
dv
du.
y {X-^u)(B-^u)(C-{-u)(u—c) dont l'intégration se ramène aux quadratures.
L'arc de la courbe s'obtient également par des quadratures. On a, en effet,
V — c\ u{u — vy du^
=1 M du* 1
u — cj ( A -T- a) (B -T- a) (C -i- a ) { M — c)
ds ~(u — ç)i/ ■— — -^ du
u^udu vsfîf d\^
v/(A-f-"^)(B-4-w)(C-f-;/)(M-c) v^(A-ht')(B-i-f^)(C-hr)(r-c)
371 . Les lignes géodésiques de rellîpsoïde jouissent de propriétés remarquables, qu'on peut déduire de Téquation (ap).
Remarquons tout d'abord qu'en tous les points d^une ligne de courbure u = const. on a
61=:-, d'où a sin'ô -f- (^cos*6 r=: w rrz const.
Le long d'une ligne du second système v ^-rr const., on aura
0 nr o et ;/ sin'O -i- (^cos*6= (^r=z const.
Les lignes de courbure satisfont donc à l'équation (29) des lignes géodésiques.
Cherchons les points où la ligne géodéslque
u sin'O 4- t^cos^O ==: c
est tangente à une ligne de courbure.
On aura, au point de contact,
e r:z O OU 6 — -
et, par suite,
u z=zc ou çz=- c.
Chaque ligne gcodésique est donc tangente à deux lio-nes de courbure, une de chaque système, et l'on voit qu'à deux lignes géodésiques tangentes à une môme ligne de courbure
li z—. c correspond la même valeur c de la constante d'intégration.
Il en est de môme pour le système des lignes géodésiques qui passent par les ombilics.
On a, en effet, pour les quatre ombilics réels (t. I, n**525),
La condition y^ r=z o donne
(B-4-z/)(BH-i')^o;
donc II ou V est égal à — B. Soit, par exemple, u — — B; on aura
donc i^ sera aussi égal à — B.
Pour une ligne géodésiquc qui passe par un ombilic, on aura donc, en substituant ces valeurs dans l'équation (29),
ce qui détermine la valeur de la constante c.
Considérons une ligne de courbure quelconque w= const. Soit (w, p) un point quelconque de cette ligne; joignons-le à deux ombilics O et O' par des lignes géodésiques L, L', elles auront pour équation différentielle
u cos'O H- t' sin-6 =-: — B, u ces' ô'-i- V sin* 6' r= — B.
En retranchant ces deux, équations l'une de l'autre, il
viendra
0 = w(cos'0 - cos*0') -f- t>(sin'0 — sin'O')
z= (r— u) (sin'6 — sin'6').
Donc sin^O -- sin^O', et les lignes L, U auront pour bissectrices les lignes de courbure du point w, if.
Soit (//, Vf) un point de la ligne de courbure considérée
situé à une distance infiniment petite ds du point (if, v) pr mitivement choisi. Joignons-le à O, O' par de nouvelh lignes gëodésiques L|, L', .
Projetons L| et Télément ds sur L ; on aura évidemmei
L 1= proj. L| -h proj. ds.
Or chacun des éléments de L^ ne faisant qu*un angle ii fmiment petit avec sa projection, lui est égal en négligeai le produit de sa longueur par une quantité du secoD ordre; on aura donc, au second ordre près,
D'ailleurs
donc
On a de même
Mais on a
proj.L|=L,.
proj. dsz=zdss\n^\
