L := L, H- dis sin

L'- -L', -hdssinO'.

sinO — - -±1 sinO',

égalité où l'on doit évidemment prendre le signe -f- ou 1 signe — suivant que les ombilics O et O'sont situés de côtf différents de la ligne u ou du même coté. Dans le premier ca on aura

XJ 1j Lj] \^

et, dans le second,

Lh L'=zrL»4-L;.

Ces égalités étant démontrées, au second ordre prè> lorsque le point (w, i^i) est infiniment voisin du point (u, r on en conclut par le raisonnementconnu (t. I, n^ 462) qu'elle sont vraies en toute rigueur, quelle que soit la position di point (w, i^i) sur la ligne de courbure u.

On voit ainsi que les ombilics jouissent, par rapport au: lignes de courbure, de propriétés toutes semblables à celle des foyers des sections coniques.

CALCUL DES YARIATIONS. 497

372. Problème des isopérimètres, — Proposons-nous de déterminer, parmi toutes les courbes de longueur 2 / ayant leurs extrémités en deux points A et B, celle pour laquelle l'aire comprise entre la corde AB et la courbe est maximum.

Prenons pour axe des x la droite AB, pour origine le milieu de cette droite : soit 2 a la. longueur de celle-ci. Nous aurons à rendre maximum l'intégrale

/ yda:,

sachant que Tintégrale

/ ciszzz I \]i-^ y''^dx

a pour valeur 2 /.

D'après la méthode générale, nous aurons à poser

o -: 8 / (j-f- )V' -\-y')dx L'équation difierentiellc de la courbe cherchée sera donc

d'où

y/X«— (JT — C)>

équation d'un cercle de rayon \,

Il reste à déterminer les constantes c, c', \, Pour j^=: o, on aura ^ = db a; donc c = o, c'^= \'^ — a^. J. — Cours, III. 32

Il ne reste plus qu'à faire en sorte que la longueur de l'arc soit 2 /.

Or, en désignant par a {fi g* 1 1) Tangle que le rayon CA

du cercle cherché fait avec l'axe OY, on aura

/ziz Xa, a = X sina.

Éliminant a, on aura, pour déterminer X, l'équation transcendante

a3=: A sin r--

L'angle a étant d'ailleurs compris entre o el tc, il faudra prendre pour \ celle des racines de cette équation qui est

En supposant a infiniment petit, le problème se transforme en celui-ci :

Déterminer parmi les courbes fermées de périmètre 2/ celle qui enferme une aire maximum.

Dans ce cas, Téquation en \ deviendra

sin Y = o

et aura pour racine X= -• La solution du problème sera donc un cercle ayant le périmètre donné.