L'étude des variallons de Tintégrale
où Q est une fonction de x^ des variables dépendantes y^^ y^t ... et de leurs dérivées successives, ces variables pouvant d'ailleurs être liées entre elles par un système d'équations différentielles
se ramène immédiatement au cas où cp, ^i, ... ne contiennent, avec les fonctions inconnues, que leurs dérivées premières.
Supposons, en effet, que j^o par exemple, figure dans ces expressions avec ses dérivées successives jusqu'à l'ordre /i. Nous pourrons introduire comme inconnues auxiliaires les dérivées j^j, ...,j^"~*, pourvu qu'on joigne au système des équations ^| = o, i};2 = o, ... celles-ci :
yi étant d'ailleurs la dérivée première de y^'* , on voit que la fonction <p et les équations de condition ne contiendront plus que les fonctions inconnues et leurs dérivées premières. Supposons donc que nous ayons m fonctions inconnues ytt •'"iym\ que ces fonctions, leurs dérivées premières et la variable indépendante x figurent seules dans l'intégrale
^dx
et dans les équations de condition
5oo TROISIÈVB PARTIE. — CHAPITRE IV.
Désignons par p le nombre de ces dernières équations. Admettons enfin, pour plus de simplicité, que les limites x,. j:, de rinlégrale et les valeurs correspondantes des fonctions y soient des quantités fixes données. Gela posé, cherchons à rendre Tintégrale maximum ou minimum.
374. Nous déterminerons les fonctions inconnues, comme on Ta vu plus haut, en annulant la variation première de rintégrale
ce qui fournit les équations diCTérentielles suivantes que nous combinerons avec les équations de condition
(2) --iizij;/— o {l — l,1,..,,p).
L'intégration de ce système donnera en général les inconnues ^ et \ en fonction de j; et de im constantes arbitraires.
En effet, remplaçons les équations <{;/=: o par leurs dérivées -^ = o. Le nouveau système obtenu
(3) ^__.^-^Z-^o ^'=zo
dyi dx dy'i ' dx
contient les dérivées de y^ , . . ., y m jusqu'au second ordre, celles de ).|, . . ., ).p jusqu'au premier ordre. Il sera donc d'ordre im-\- p et fournira les inconnues y et X en fonchoo de X et de im-^p constantes arbitraires. Ces valeurs, substituées dans les expressions t{//, les réduiront à des constantes (puisqu'elles annulent identiquement — ^' ) . En écrivant que ces constantes sont nulles, on obtiendra des équa-
CALCUL DES TARUTIONS. 5oi
lions de condition qui déterminent p constantes dUntégration en fonction des autres.
Les 2 m constantes qui restent seront déterminées à leur tour par la condition que ^i, . . -, ym prennent pour chacune des deux limites x^ et x^ les valeurs qui leur sont assignées.
Le problème d'annuler la variation première de l'intégrale est donc en général possible et déterminé.
On doit toutefois remarquer que l'ordre du système (3), et, par suite, celui du système primitif, s'abaisseraient si Ton pouvait éliminer les dérivées y\^ . . ., ^J„, X'^ , . . ., X^ entre les équations (3). Or, ces dérivées y entrent linéairement, et le déterminant de leurs coefficients n'est autre chose que le
jacoblen J des fonctions -r— d 4/ par rapport aux quantités^
et X. Si donc ce jacobien était identiquement nul, il serait en général impossible d'annuler la variation première de l'intégrale 5 car les constantes d'intégration seraient çn moindre nombre que les équations aux limites auxquelles elles doivent satisfaire.
375. Nous admettrons donc que J n'est pas nul. Il est aisé, dans ce cas, de ramener le système (i), (2) à un système canonique. (Ce résultat est une généralisation de celui dun'^3o7.)
Prenons, en effet, pour variables auxiliaires les quantités
Les équations
permettront d'exprimer les quantités ^, \ en fonction des variables^, p.
Posons, d'autre part.
On aura
Mais les termes en dy\^ cTki disparaissent en verto d équations (4)* On aura donc, en supposant qu'on expriii H au moyen des variablesj^et/?,
àyt ~" dfi' ôpi ~y^*'
D'ailleurs, les équations (i) peuvent s'écrire
dyt
—Pi = o.
On aura donc, pour déterminer les variables jr^ p^ les équ lions canoniques
376. Ces équations étant supposées intégrées, on sait(26( que leur intégrale générale pourra se mettre sous la forme
(6) ——p^^ Ji"^?^ (' — 1,2, .. ., m),
V étant une fonction des variables x, yi et de m constanti d'intégration a^ , , . . , a;;» et les quantités ^i , . . . , p^ étant h autres constantes d'intégration.
La résolution des équations précédentes donnera les vs leurs des y, p en fonction de x et des constantes a, 3. Ia équations (4) donneront ensuite les quantités ^, X; entî les conditions aux limites détermineront les valeurs des con stantes a, p.
377. Mais, pour être assuré de l'existence efiective d'u: maximum ou d'un minimum, il est nécessaire d'étudier 1 variation seconde 8^1. Si celle-ci ne peut s'annuler pour au cun système de valeurs admissible des variations Sv, elle con
CALCUL DES VARfATlONS.
servera toujours le même signe, et il y aura minimum ou maximum, suivant qu'elle sera positive ou négative. Si, au contraire, elle peut s'annuler, il n'y aura en général ni maximum, ni minimum, la variation troisième changeant de signe avec les variations 8^; il ne pourrait y avoir incertitude que dans le cas exceptionnel où elle s'annulerait en même temps que la variation seconde.
Laissant de côté ce cas singulier, nous sommes amenés à rechercher si S^I est ou non susceptible de s'annuler.
