Posons, pour abréger
Les quantités aïk, bik, Cm, rf//, <?// seront des fonctions connues de x; nous les supposerons continues, ainsi que leurs dérivées partielles, entre Xq et Xt ; cette hypothèse est évidemment nécessaire pour qu'on puisse appliquer la série de Taylor au développement des accroissements des fonctions F, ^/.
Posons encore, pour simplifier l'écriture,
^yi^^i\
ces quantités seront assujetties aux relations On aura, d'autre part,
hnz= I^^Fdxzzz I f?/' F 4- y 2 {JL/ U^ (ix,
et
5o4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRB IV.
les multiplicateurs [x/ étant des fonctions quelconques de jt, finies entre x^ et x^.
L'expression
\ \ 2jx/[É///5/-f-e//«i]
étant homogène et du second degré par rapport aux quantités
2, z\ [Xy on aura
Substituant cette valeur dans Texpression de S^I et remai^ quant que les équations de condition (7) ne sont autres que les suivantes
il viendra
Int(';grant par parties les seconds termes et remarquant axiezi s'annule aux deux limites Xq et x^^ il viendra
On pourra donc annuler ô-I si Ton peut déterminer les quantités ;;, [Ji, de manière à satisfaire aux équations
^^^ dzi dxôz\'~'^'
ainsi qu'aux équations de condition (8), en assignant aux Zi
CALCUL DES TARIATIONS. 5o5
des valeurs qui ne soient pas constamment nulles entre Xq et Xi, mais qui s'annulent aux. deux limites.
379. Les relations (8) et (9) constituent un système d'équations différentielles entre les variables z, [x tout à fait analogue au système (i), (a). Il sera également d'ordre 2m, pourvu que le jacobien J| des expressions
dz'i dii-i
par rapport aux quantités z^, [X/ ne soit pas identiquement nul. Or, d'après l'expression de Q, on voit que les éléments de ce déterminant ne sont autre chose que ceux de J, où l'on a substitué, pour les quantités y, leurs valeurs en fonction de X, Nous admettrons que, même après cette substitution, le déterminant ne s'annule pas identiquement et que, en particulier, il n'est pas nul pour x =^ Xi,
Prenons alors pour inconnues auxiliaires les quantités
(10) Ui— ^^;.
Les équations (8) et (10) permettront d'exprimer les quantités z' et [X en fonction linéaire des quantités z et u. Ces valeurs, substituées dans l'expression
Hi r--^^w,5;— U,
la transformeront en une fonction homogène et du second degré des quantités ::, u\ et l'on aura, pour déterminer ces quantités, les équations canoniques
(li) ^,^^--, "i--^^-;.
dont les seconds membres sont linéaires et homogènes par rapport aux inconnues 2, u.
5o6 THOISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IT.
380. Les équations difTérentielles linéaires (12) o^^ = > [di,Zi -+- e//^;],
auxquelles nous venons d'arriver, sont intimement liées aai équations
dV d¥
dont rintégration nous a fourni les valeurs des quantités^; \ en fonction de x et des constantes ai , . . . , a^ ; p^ , . . . , 3,. En effet, substituons ces valeurs dans ces dernières équations ; elles se réduiront à des identités, quelles que soient les constantes a et ^. On pourra donc les diflTérentier ptr rapport à l'une quelconque c de ces constantes. Effectuant cette différentiation et posant
àyt ^ ày'i __ ^, dpi ___ d\,
on obtiendra précisément les équations (12), (i3), (i4).
Prenant successivement pour c chacune des a/n constantes a, p, nous aurons donc ini solutions particulières de ces équations. On en déduit, en désignant par A;t et B>t des constantes arbitraires, la solution plus générale
CALCUL DES TARIATIONS.
Les équations (i i)» qui se déduisent de la combinaison des équations (12) à (14)9 admettront donc comme solution les valeurs de Zi, ui données par les formules (i5) et (16).
