Nous admettrons : 1° que les diverses dérivées par
9 qui figurent dans les expressions
r 11 dvi dVi tielles -é^j -;r^-î
précédentes, restent continues entre Xo et Xf ; 2° que les seconds membres des équations (i5) ne peuvent devenir à la fois identiquement nuls, de quelque manière qu'on choisisse les constantes Â, B, à moins qu'elles ne soient toutes nulles
Cette dernière hypothèse entraîne manifestement comme conséquence que les 2 m solutions particulières obtenues pour les équations (11) sont linéairement indépendantes. La solution générale des équations (11) sera donc donnée par les formules (i5) et (16), et celle des équations (12), (i3), (i4) par les formules (i5) à (18).
Nos 2 m solutions particulières étant indépendantes, le déterminant
dy.
ày.
àx„,
ày,
ày.n
dfm
àym
dYm
dcti
àpi
àpi
àpi
àpx
do^i
dpm
àp,n
àpm
àpm
dn.
dp
ne pourra être identiquement nul.
Ce déterminant peut d'ailleurs se mettre sous la forme d'un
produit de deux autres déterminants. En effet, les équations
intégrales
dV
(où V ne contient ni les p ni les P), différentiées par rap-
5o8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I?.
port aux constantes ol^ et ^j^, donnent
dpi
hdvidvh difc d'Y âYf,
ôfi d^k
h àvi ÔYh 0}k
Substituant ces valeurs dans D et retranchant des m der^ nières lignes du déterminant les m premières, multipliées par des facteurs convenables, il viendra
dyjn
ày.
ày.
dym
àyn
doLnt
d'Y àyi 0:t,„
dy
O'^DjD,,
àym d^i
àym à
en posant
ày,
àh„
àym
àym
; ày i 0^1
àj m C^3t,
ày, 0
àym 0:l„,
A.ucun des deux déterminants D|, D2 ne peut donc être identiquement nul.
382. Nous sommes maintenant en mesure de déterminer les conditions nécessaires et suffisantes pour que 5*1 ne puisse s^annuler.
On voit tout d'abord que 8^1 sera susceptible de s'annuler si l'on peut déterminer les rapports des constantes A;t, B/^, de telle sorte que les valeurs des z, fournies par les équations (1 5)
CALCUL DKS VARIATIONS. SoQ
s'annulent toutes à la fois pour deux valeurs distinctes Ço» ^i de la variable x^ comprises entre x^ et x^ .
En effet, posons S/i = tZi entre Ç© et Ç,, et 8//=^ o dans le reste de Tintervalle x^x^.
Les variations ainsi définies ne sont pas identiquement nulles dans tout Tintervalle entre x^^ et x^\ elles satisfont aux équations de condition (12); enfin entre Ço €t Ç|, seule partie de l'intervalle où elles ne soient pas nulles, elles satisfont aux équations (i3) et (i4)f équivalentes aux équations (9); elles annulent donc tous les éléments de l'intégrale 8*1.
Pour que les rapports des constantes Aa, Ba puissent être déterminés comme il est indiqué ci-dessus, il faut et il suffit que le déterminant
(dyrn\
d,yjn\
(dyjn\
soit égal à zéro.
Donc, pour que 8*1 ne puisse s'annuler, il faut tout d'abord qu'on ait
de quelque manière qu'on choisisse ^o et ^1 entre Xq et X|. Posant en particulier Çq == ^01 ^^ devra avoir
pour toute valeur de ^ >• ^c et ^ ^1 .
