Toutes les solutions de nos équations s'expriment
CALCUL DES VARIATIONS. 5j3
linéairement en fonction des 2m solutions particulières
àp, \ ■'dT,' ■■■)
àyi
doi
àyi
'àfr
àpi dp,
Proposons-nous de déterminer les valeurs des constantes
particulières
(S^^S/,), (T,.Sa), (Tj,T^),
Il faudra, pour cela, chercher la valeur de Texpression
Zdi\àc de' 'de de')
c et c' désignant deux quelconques des constantes a, ^. A cet effet, recourons encore aux équations intégrales
àyi
^Pù
dW
En dérivant les premières par rapport à c, il viendra
àyi de
Zdkàyiàyk àc de
On aura, par suite,
\^ àp^ày^ Y àyt 0^ ^y y d'V ày^ àyt
j^i de de' j^t àd àji de ZjtZjk àyt àyk àe de'
La somme double ne change pas si Ton permute c et c', car cela équivaut à permuter les indices de sommation 1
J. — Cours, 111. 33
5l4 TROISIEME PARTIE. — CHAPITRE IT.
et k. On aura donc 2màt\àc de' de de' ) ^LàiXàd dytdc de ôyiôc')
On a d ^ailleurs
/ de' d/i de ~ de' de de de' '
en désignant par -r-, -5— la dérivée complète de -r— par rapport à dj en tenant compte de ce que les j^ sont des fonctions des constantes c. On a de même
dyi d'\ d d\ d^y
\i de dyt de' de de' de de' et, par suite,
Y (dpi^ ^ __ ^' ^Pl\ - ^ ^Y __ ^ ^ ^\de de' de de' ) "de' de de de
Gela posé, V ne contenant pas explicitement les constantes ^, on aura, si c = ^/t et c' = 3a»
dW dV
Te'''' d?=^' d'où
Si c = 7.if Ql d - cLhy on aura, en vertu des équations (20),
d'où
On a de même
et, par suite,
ày dy___
de ~ dxk ~ ^^'
±dy d^
de' de ~ doLj""-^^'
de de'
CALCUL DBS YABIATIONS. 5l5
Enfin, si c = P^t et c' =^ cth^ on aura
d'où
de de' de' de " d^k ^^ " i ^\ h — k.
Nous trouvons donc
(S^Sa) . o, (T*T^) = o,
387. Considérons maintenant deux solutions quelconques On aura, d'après les formules précédentes,
^ ^ ^A^A L"^ B;tpAAa(T;tSA) H" BA.pBA,r(T^TA) J
Assignons aux coefficients A^p, Bap; Aa^, Ba^^ les valeurs particulières
-(liX'
A*,= (5^'). B---(|fX'
OÙ \ désigne une constante quelconque ; il viendra
car le second membre de cette expression, se déduisant de celui de Téquation (ai) quand on y change i^ A*, k en k^ a*, p
5l6 TROISIÈME PARTIE. — COÀPITRB IV.
et qu'on attribue à :r la valeur particulière i, est identiquement nul.
En posant successivement p = I9 2, . . .<, /n, nous obtiendrons un système de m solutions
M\fn — ( • • • j ^imf • • • « ^im} • • • )>
tel que Ton ait généralement
(RpR^)zzrO.
388. Calculons, d'autre part, la valeur du déterminant G, formé avec les quantités
Pour Fobtenir, formons le produit du déterminant
dvi 5a 1
dyjn doLx
dY
ày^
(If)
'IW
(àyA
par le déterminant
ày^
ày„
dym
àyt
âoii
dy
dp.
CALCUL DES VARIATIONS. 5l7
Il viendra, en tenant compte des équations (21) et (24)9
**ml
'Im
**mm
dy„
(dyn,\
dv
(àyjn\
et, comme D4 n'est pas nul, on en déduira
Nous admettrons provisoirement qu'on ait pu déterminer la constante ^, de telle sorte que Ton ait
dans tout Tintervalie de Xq k Xf
Les quantités js^p, . . . , Zmp] Uip, . . ., {<mpy associées aux valeurs correspondantes [x^p, . . ., [x^p des quantités [x, fourniront pour chacune des valeurs p =^ i , . . •, ^ un système de solutions des équations (12) à (i4)«
