Posons maintcuant

Les quantités ya/, 8^/, Ma/, déterminées par ces équations linéaires, seront des fonctions de x^ finies et continues entre Xo et Xi en vertu de nos hypothèses, puisque le déterminant G des quantités ^Ap i^c s'annule pas dans cet intervalle.

5l8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.

En difTérentiant les équations (a6), on trouvera

"îp -~ X (^^'^^P"^^*'-^'*?

ou, en remplaçant les ^par leurs valeurs déduites de (aS).

(a8) "/p^y (^^'■*'/. hitkh)^kp.

Substituons, d'autre part, les valeurs des quantités w/p, Uitr déduites des équations (26) dans les équations

elles deviendront

ou, en permutant les deux indices de sommation dans le second terme,

X X ^^*' "~ ^^*^ ^A-p^tff — o, (p " I , . . . , m ; (T r:= I ^ . . . ^ m\

Le déterminant des quantités 5; /<y n'étant pas nul, ces équations entraînent les suivantes

\ {^ki— ^ik)Zkç,-~o (p = ir . . . , m).

et le déterminant des zj^p n'étant pas nul, on en déduira

Les équations (12), (i3), (i4) sont d'ailleurs satisfaites par les valeurs

Zi=zZip, UimUipj jX/:r::(X^p.

Faisons cette substitution, remplaçons les quantités z* u

CALCUL DBS VARIATIONS. SlQ

(JL, vl par leurs valeurs (25) à (28) et changeons, lorsque cela est nécessaire, la dénomination des indices de sommation; il viendra

Ces équations ayant lieu pour p -- 1 , . . . , m, et le déterminant des quantités z^^ n'étant pas nul, on aura pour

(3o) o-zàtci^-^ c/4/YA^-h\ e//M)t/— 8;t/,

(3i) or=a,^-h-\ ^/aTaaH-N <i//iMA/- -8^.,- -\ 8/k/Y*A-

On peut déduire de ces équations les valeurs des quantités a, 6, d en fonction des c, e, y, 0, M. Elles donnent en effet

(32) dki- — N ehi^ku, puis

ou, en permutant i et A* et remarquant que ^ki^^ ^ih

(33) ô/;t--5^/ — \ Chk'^ih — y^^k/^'^ii-

Les valeurs précédentes des 6, <i étant substituées dans

520 TROISitMK PARTIR. — CHAPITRE IT.

Téquation (3i), elle donnera

~ ^'a'-^^^^^^a/(t/aMa7+ t*aM//) h-^^^ c>k'AT/*Tw-

Substituons les valeurs ci-dessus des quantités a, b, d dans Texpression de la variation seconde

et dans les équations de condition

(35) o--=l^t^^yu^yi-^- eu^y\) {l^i, ...,p),

qui existent entre les variations.

Si nous posons, pour abréger,

(36) ^^^~\ imh'h --^iy

on trouvera aisément que les équations (35) deviennent

eifVi = o

et que 8^1 prend la forme suivante :

Le dernier terme de cette expression disparaît en vertu

des relations (3y). D'autre part,

car les variations. 8^/, Sj^a s'annulent aux limites. On aura donc plus simplement

390. Les conditions (35) ne sont pas les seules auxquelles soient assujetties les variations 8y/. 11 faut, en outre : i^que ces variations soient infiniment petites, ainsi que leurs dérivées, entre Xq et Xt ; a" qu'elles s'annulent à ces deux limites, sans s'annuler identiquement dans tout l'intervalle XoXi.

Il résulte de là que les quantités Vi doivent être infiniment petites, mais qu'on ne peut les supposer identiquement nulles entre Xq et Xi, En eflet, si tous les i^ étaient nuls, les équations (36) donneraient

(4o) V/— \ ^/ii^yh -o.

En vertu des relations (^5), ces équations seraient satisfa.' tes en posant

p ayant l'une quelconque des valeurs i , . . . , m.

Par hypothèse, le déterminant des quantités Zip non seulement n'est pas identiquement nul, mais ne s'annule en aucun point de l'intervalle Xo^f. Les équations linéaires (4o) auront donc pour intégrale générale

Cp-s/p,

les C étant des constantes arbitraires.

Les 8^1 devant d'ailleurs s'annuler pour x = Xq et lo

détermÎDant des z/p n'étant pas nul en ce point, les constantes Cp devront être toutes nulles^ mais alors les 8^/ seraient nuls identiquement.