Cela posé, si la fonction
conserve constamment le même signe pour tous les systèmes de valeurs des fonctions Vi qui ne sont pas identiquement nulles et qui satisfont* aux relations (89), l'intégrale
jouira de la même propriété. Il en sera de même, à plus forte raison, si Ton se borne à assigner aux arbitraires Vi les systèmes de valeurs auxquels correspondent des valeurs admissibles des S^{. Il y aura donc maximum ou minimum.
La fonction cp pourrait d'ailleurs s'annuler pour certaines valeurs particulières de x sans que ce résultat fdt troublé.
Cette condition suffisante est en même temps nécessaire. En effet, s'il existait un système de fonctions p,- satisfaisant aux équations (Sq) et tel que la fonction (p fût positive dans une partie de l'intervalle x^Xs et négative dans Tautre, nous allons voir qu'on pourrait rendre 8^1 positif ou négatif à volonté dans cet intervalle.
Soient, en effet, X|, . . . , ^2n+\ des fonctions quelconques de Xj linéairement indépendantes, et finies entre x^^ et x^ : c, . . . , c^n^x des paramètres infiniment petits. Posons C|, . . .,C2/<^i des constantes infiniment petites. Posons
le multiplicateur K étant égal à zéro dans la partie de l'intervalle où ç est négatif et égal à
dans la partie où il est positif. Les fonctions V^- satisferont
CALCUL DBS VARIATIONS. 523
encore aux équations (39), et Pexpression
* "XS/'*^'^*"^^'"^'
nulle dans la première portion de Tintervalle, sera positive dans la seconde. L'intégrale
sera donc positive.
Les valeurs correspondantes des Zyi sont les intégrales des équations linéaires
(4l) Sji -^ jy,, 8j;k -- V,.
Pour les obtenir, intégrons d'abord les équations sans second membre; il viendra, comme tout à l'heure,
(42) ^7/ -A Gp5,p.
Prenant les Cp pour nouvelles variables, d'après la méthode de la variation des constantes, on obtiendra les éqiiations transformées
V <^Cp __ Zp^^'^'p -^'•
Les >3ip étant continus entre Xq et Xx et leur déterminant ne s'annulant pas, on pourra résoudre cette équation parrap-
port aux. dérivées -c-^- Le résultat obtenu sera de la forme
\JtJO
dCp dx
les E/p étant des fonctions finies.
Ces équations admettent la solution particulière
Cpv^ r'y E,pv,rfa-,
5a4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
qui est infinimenl petite, les V| étant iaCniment petits. Les valeurs correspondantes des S^,- seront elles-mêmes infiniment petites. Il est clair d'ailleurs qu'elles seront linéaires et homogènes par rapport aux constantes c^, - - •, C2m+fi et l'on pourra déterminer les rapports de ces constantes de manière à faire en sorte que les 0^7 s'annulent pour o^q eiXt. Enfin les S// ainsi déterminés ne s'annulent pas identiquement; car les équations (4 1), où les V/ ne sont pas identiquement nuls, ne pourraient être satisfaites.
Nous obtenons donc un système de variations S^,- satisfaisant à toutes les conditions requises, et pour lequel 8^1 est positif. On déterminerait de même un second système de variations pour lequel 8^1 serait négatif.
39S. Nous avons donc réduit la question proposée à chercher les conditions pour que la fonction
conserve constamment le même signe pour toutes les valeurs de V qui satisfont aux relations
(43) ^et
Comme d'ailleurs le signe de cp ne dépend que des rapports des quantités (^, on peut, sans restreindre la généralité du problème, supposer les v assujettis à satisfaire en outre à la condition
Pour résoudre la question ainsi posée , cherchons les maxima et minima de cp pour les valeurs de {^ qui satisfont aux équations (4^) et (44)» Dans ce but, nous égalerons à zéro les dérivées partielles de la fonction
Nous obtiendrons les équations suivantes
N c/^r* — pi'i — \ et
iPi-.Oy
qui, jointes aux relations (43), détermineront les rapports des quantités ç et pi] quant à p, il sera déterminé par la condition que le déterminant
Cil— p
ml
