Les équations diOférenli elles
où la dérivée y se trouve à un degré supérieur au premier, exigent, pour être traitées par les méthodes qui précèdent, la résolution préalable de l'équation par rapport à y, ce qui peut présenter de graves diiUcultés. Mais on pourra, dans certains cas, se dispenser de cette opération par Tintroduction de variables auxiliaires.
33. r* Considérons d'abord les équations qui ne contiennent que la dérivée y et une seule des variables x, y.
Ces équations sont des deux formes suivantes
/(^»/) = o ou /(7,/) = o,
suivant qu'elles contiennent la variable indépendante x ou la fonction inconnue y. Mais ces deux types d'équations- se ramènent immédiatement l'un à l'autre en prenant la fonction pour variable indépendante, et réciproquement.
Nous nous bornerons donc à considérer les équations de U forme
Si l'on sait exprimer^ et y au moyen d'une variable auxiliaire u par deux équations
dont le système soit équivalent à l'équation unique (i5), l'intégration sera ramenée aux quadratures. On aura, en effet,
38 TROISlfeMB PàRTIB. — CHAPITRE I.
0? r= / -7-7— r du -t- const.
avec
Ce cas se présentera en particulier si l'équation (i5) représente une courbe de genre o ou 1 , lorsque l'on y considère j^,j/^ comme les coordonnées d'un point. Les fonctions o ett|/ sont alors rationnelles ou elliptiques, de telle sorte que les intégrations pourront se faire.
Considérons, par exemple, l'équation
Posons j= uy; substituant et supprimant le facteur^*, il viendra
J? =: 1 — du
J I — tt*
= / ( 3 H ' — I du — 3 M H- log ~" 4-c.
J \ 1/ — I u-hij ^ U-hl
34. 2° Il existe une classe assez étendue d'équations diiTérentielles qu'on peut intégrer à l'aide d'une difTérentiation préalable.
Considérons, en effet, l'équation
On en déduira, par la différentiation.
Prenons^' pour variable auxiliaire; nous aurons la nouvelle
équation
dy — y dx-—o
qui, combinée à la précédente, donnera un système de deux équations simultanées pour déterminera,^.
ÉQUATIONS DlFPÊREIfTIBLLBS ORDINAIRES. Sq
Supposons qu'on soit parvenu à déterminer des multiplicateurs M, N, tels que Ton ait
drf étant une difTérentielle exacte.
Les équations /= o, dy — y dx = o seront, en général, équivalentes aux deux suivantes :
ou
On n'aura plus qu'à éliminer y entre ces deux dernières équations pour avoir la relation qui lie J?, y et la constante arbitraire c.
Les deux systèmes d'équations cesseraient toutefois d'être équivalents pour les valeurs de x, y^y^ qui rendraient N nul ou infini, ou M infini. De là peuvent naître des solutions singulières.
