Considérons, par exemple, l'équation

linéaire en x et y.

On en déduit, par diflférentiation,

(i6) ydx=/(y)dx^[x/'{y)-^^'iy)]dy.

• m dx

Cette équation étant linéaire en x et -^9 on peut en déterminer un multiplicateur, et son intégration donnera x en fonction delà variable auxiliaire^. Cette valeur, substituée dans l'équation primitive, donnera la valeur de j^.

Un cas particulier digne de remarque est celui de l'équation de Clairaui, '

L'équation auxiliaire (16) se réduit dans ce cas à

[x-h^^(y)]dy=o.

4o TROISIÈME Partie. — chapitre i.

En égalant à zéro le facteur dy^ on aura

cl, en substituant cette valeur dans Téquation primitive,

/= ca:-f- <p(c).

La solution générale représente donc un système de droites. On aura une solution singulière en posant

*2^ -+-?'(/) Sucette équation, associée à l'équation primitive, représente évidemment Tenveloppe des droites fournies par l'intégrale générale.

peut se ramener à l'équation de Clairaut, en posant

doù

ixdx^=.du^ iy dy=Ldv\

y dy __ ^îl ^/ X dx du '

Substituant dans la proposée et multipliant par ^9 il vient

successivement

a:*c'*-*- (j:* — 7*— A-h B)c' — j'^mo, w«^*4-(w — ('-- A-t-B)ç''— (^ = 0, / B~A ,

L'intégrale générale sera

ÉQUATIONS DIFPÉRniTlELLBS OBDINÀIRBS. ^l

OU

y' = ex* H c.

Posons maintenaDt

Ah-X

A étant une nouvelle constante. L'équation précédente deviendra

-h TT T =1

et représentera un système de coniques homofocales, ce qui concorde avec un résultat trouvé dans le Calcul différentiel (i.l, n'' l&I),

37. Supposons qu'en intégrant par divers procédés une mèine équation différentielle

dr ^

OD ait obtenu deux solutions générales, de la forme

(p :=. const., <p, =z const.

On aura, comme nous l'avons vu (13), une relation de la forme

On peut déduire de cette remarque une démonstration nouvelle des propriétés fondamentales de plusieurs fonctions Irauscendantes.