Considérons enfin l'équation différentielle

dx dy

OÙ

I/iatégration directe donne

F(a:) -h F(/) = const.,

F désignant Tintégrale elliptique de première espèce.

Mais d'autre part, cette équation étant un cas particulier de Féq nation d'Euler, admet une intégrale générale algébrique (t. II, n*** 498-501). Voici un nouveau procédé pour Tobteniri indiqué par M. Darboux.

Posons

dx dy ,

i étant une variable auxiliaire. On en déduira successivement

(^y=('-7*)o-AV)

44 TROISlfeMB PARTIE. — GIIAPITRB 1.

et, en dérivant par rapport à /,

(Px

dt^

^^^=2Ar«7«-(i-HA:«)7,

pu

is

y~-x-^ = ik^xy{x^-y^),

dt' de

-^ 'dF "" ^ 'di^ __ 2k*xy

.-(¥)Mi)'""'"^'

d*x dry ,. ( dx dv\

y —n ^ —TV ^k'xyiy—i — h x -^ ]

•^ dt* dl* -^ Y dt de )

dx (iy ~' i — k^x^y^

-^ dt dt

et, en intégrant,

^^^y ^ "" ^ ^) ~ ^®^^' "" ^^'^V*) -^ const.,

et enfin

dx dy

^ dt dt

jA(x)^^A(y)^^^^^^^

On aura donc

F(x) + F(/) = <p |^=L l d__JZi J

Posons

cette équation se réduira à

fiQCÀTIONS DIFPÉREIfTIBLLBS OBDIIIÂIRES. 4^

On aura donc

Posons

X r= sni/,/ = snc, d'où Aj:z= cni/dni/, A^ ^ cnt'dnc.

Nous retomberons sur la formule connue

sn w en i' dn i' -f- sn p en w dn //

sn(u -^ç)=:

I — Ar*sn*asn*i'

m. — Systèmes d'équations simultanées.

il. Tout système d'équations diflférenti elles simultanées, entre n -+- 1 variables x^, . . . , X/,, peut être ramené, comme on Ta vu, au type normal

ClX^ Y €lX„ Y

X,, . . . , \„ étant des fonctions de Xq, . . . , x,i. Ces équations étant mises sous la forme

(i) F/t=idx/t — XkdxQ^o (Ar= I, . . ., /<),

cherchons à en déduire une combinaison

dont le premier membre soit une diffère ntielle exacte d'^. L'identité

:=zd^z

= -^ dXo 4- . . . -H

UXq

dxa

donnera

dxk

ËliminaDt

les|x,

on aura, pour

déterminei

'équation aux

dérivées

partielles

dxk

46 TROISIÈMB PARTIE. — CHAPITRE K

42. L'intégration de Téquation (2) et celle du système (1) sont deux problèmes équivalents.

En effet, si, par un procédé quelconque, on est parvenu à obtenir une solution générale du système (i) (*), représentée par n équations

entre x^^ . . , ^ Xn et n constantes arbitraires C| , . . . , Cn, on en déduira aisément toutes les solutions (ou intégrales) de l'équation (a). Résolvons, en effet, les équations (3) par rapport à c^ • • • > C/i i elles prendront la forme

(4) ?i = Ci> •••, ?/i = Crt.

D'ailleurs, les premiers membres ^ 4 , . . . , ^ ;, de ces équations seront des fonctions distinctes de Xq, . . ., x„, c'est-à-dire qu'elles ne seront liées par aucune relation ; car, si une semblable relation existait, les équations (4) ou les équations équivalentes (3) seraient incompatibles, sauf pour les systèmes de valeurs des c qui satisfont à cette même relation, et, pour ces systèmes de valeurs, elles cesseraient d'être distinctes.

Cela posé, les équations (4) donnent, par différentiation,

Ce système devant être équivalent au système (i), on aura des équations de la forme

Donc (fij . . ., cp;, seront des intégrales de l'équation (2).

Soit maintenant y une autre fonction quelconque de Xo, . . •., x,t^ qui soit distincte des précédentes. Si nous transformons l'équation (2), en prenant pour variables indépen-

(') On verra dans la Section V qu'il existe toujours de semblables solutions.

ËQUATIONS DIFPÉRKNTIBLLBS ORDINAIRES. 4?

dantes^y f i, . . . , f;,, elle prendra la forme

Mo 3^ -h M, 3^ -4- . . . + Mn -r^ ==0.

Mais elle aidmet pour intégrales ^ 4 , . . . , ^ „ ; donc

Ml=0, ...) M;, =^ o.

L^équation se réduira donc à ^ = o. Donc, pour qu^une

fonction ^ = F(^, . . ., ^a) satisfasse à cette équation, il est nécessaire et suffisant qu'elle ne contienne pas y, La forme générale des intégrales cherchées sera donc

<pz=F(<p,, . . .,T«)>

où F est une fonction arbitraire.

Réciproquement, supposons que nous ayons déterminé n intégrales distinctes ^ «, . . . , f» de l'équation (2); on aura

ûf<p/=:\ K-iF* (i = I,2, ..., /i),

[&],..., (x^ étant des fonctions de x^^^ . , .^Xn^ dont le déterminant n'est pas nul, car il ne doit exister aucune relation linéaire entre d^^y . . ., dtfn» Le système (i) sera donc équivalent ( 0 ^^ système

^?i = o, . . . , €/<?„ = o dont on obtient immédiatement la solution générale

43. Nous appellerons, d'après Jacobi, multiplicateur le déterminant p. des coefficients

(') Saaf pour les syslémes de yaleurs des variables qui rendraient infinis les coefficients (i ou qui annuleraient leur déterminant. Ces systèmes devront être considérés à part.

Si Ton remplaçait le système des intégrales ^ « , . . . , ^ ;, par un autre système d'intégrales distinctes ^«(fi, • • • , f/i), . . . , ^/i(7«9 • • «9 ?/i)y on obtiendrait évidemment un nouveau multiplicateur^, J désignant le jacobien de ^i, . . ., ^^2 par rapport à ff, . . ., f/i.

Ce jacobien est une fonction de cpf, •••^f/i, qui peut d'ailleurs être arbitraire. En effet, F désignant une fonction arbitraire de fi, . . ., f/i, que nous supposerons contenir Çi par exemple, il suffira de poser

pour avoir J = F.

44. Soit ^ l'un des nombres i , . . . , /i. Désignons par D^ ce que devient le déterminant

[LZ=

lorsqu'on y remplace les éléments j^ {i les éléments -^^ • Comme on a

2ak * dxk '

1,2, . . ., /i) par

âx^

il viendra évidemment, en supprimant les termes qui se détruisent,

On en déduit

•^0 ^A <^-2^4 àxo ^ dxk

Or le second membre de cette égalité est nul; car, en ellèctuant les calculs, on voit immédiatement que c'est une

fonction linéaire des dérivées secondes 3 — ^— > ••• > et que

Tune quelconque de ces dérivées a pour coefficient la somme de deux déterminants qui ne diffèrent que par rechange de deux colonnes, et qui, par suite, se détruisent.

Le multiplicateur [x satisfait donc à Téquation aux déri* vées partielles

Réciproquement, toute solution [x' de cette équation est un multiplicateur. Posons, en effet, [x'= [xv. L'équation deviendra, par la substitution de cette valeur de [x',

"~ \dx^ Z^k àxk ) \dx^ jiak àxk)

^ \ àJ^„ Zdk

"dxj

Donc V est une intégrale, et [x'== [xv un multiplicateur.

4o. Supposons que nous ayons réussi à déterminer seulement / intégrales distinctes fi, ..., (p/ de l'équation ('i), / étant -< /i. Soient y^^ . . . , yn^i des fonctions de jto, . . . , Xny qui, jointes à celles là, forment un système de /t -4- 1 fonctions distinctes. Si nous prenons les ^ et les y pour variables indépendantes, les équations F^^ prendront la forme

F,. --=^^M* dy^ -H^ N^ rfçp = o

En les résolvant par rapport à dy%^ . . -:d^\* • • •? on ob- J. — Cour» III. 4

5o TROISifcMB PARTIE. — CHAPITRE I.

tiendra un nouveau système équivalent

G„ =aîFi 4-... -h a;; F;, =ic/7„,— Y„;dr7o=o,

Les { premières équations de ce nouveau système donnent immédiatement

tpj un const., ..., ©;, = const.

Il ne restera donc plus qu'à intégrer le système d'ordre n — i formé des équations

oii çp,, ..., ^n doivent être considérés comme des constantes.

Les multiplicateurs [x' du système (6) s'obtiennent évidemment en divisant ceux du système (1) par le déterminant A des coefficients a.

D'ailleurs l'équation aux dérivées partielles qui les caractéi;se, se réduisant à

montre qu'ils sont des multiplicateurs du système (7). Si donc on connaît un multiplicateur [x du système primitif, on

en déduira un multiplicateur ^ du système réduit (7).

Il résulte de là que, si Ton connaît n — i intégrales et un multiplicateur du système (i), la fin de l'intégration s'obtiendra par de simples quadratures ; car la question se ramène à intégrer une seule équation du premier ordre^ dont on connaît un multiplicateur.

fiQUATIONS DIFFÉRBNTIBLLB8 OBDIKAIRBS. 5l

i6. On a souvent à étudier des systèmes d^équations difTérentielles dont on peut déterminer facilement un multiplicateur. Le cas le plus simple et le plus important en même temps est celui des systèmes d'ordre a/i et de la forme suivante

(8) dxi=^dt, dpimi-^^dt (« = 1,2, ...,Ai),

où t|^ désigne une fonction connue des 2 n variables Xi , . . . ,

^it y Pi 7 • • • 5 Pn •

Ces systèmes sont connus sous le nom de systèmes canoniques. Ils se rencontrent dans les plus importantes questions de la Mécanique.

D*après la théorie précédente, leurs intégrales cp et leurs multiplicateurs [i seront déterminés par les équations aux dérivées partielles

àt Zd\ \dxt dpi dpi dxi) ~ et

dxi

àpi

11 est clair qu'on satisfera à cette dernière équation en posant simplement [x = 1 .

Parmi les intégrales, nous distinguerons de préférence celles qui sont indépendantes de i ; elles seront données par l'équation

^^^ làXàxidpi dptdxj-'''

laquelle admet %n — 1 solutions distinctes^ en fonction desqueUes toutes les autres peuvent s'exprimer.

Si l'on a déterminé 2/1 — 2 de ces solutions, cp,, . . ., ^2/1-2» on pourra achever l'intégration par de simples quadratures. En effet, soient j^,^i deux fonctions quelconques des x,, .... x«, />!, . . ., />;,, distinctes de cp,, . . . , <p2/i-2« Prenons pour variables indépendantes les f etles j^ à la place des x et des/?.

Sa TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

Il nous restera à intégrer un système de deux équations, de la forme

dt =Xrdy,

et dont nous connaîtrons un multiplicateur. Ce multiplicateur [i' satisfera à Téquation

dy dyi dt

Mais tous les éléments qui entrent dans le calcul de [x', Y|, Y2 sont indépendants de /; donc Téquation précédente se réduira à

dy âyt '

et pi' sera un multiplicateur de l'équation

dyi ~ Yi dy.

On pourra donc intégrer cette équation par quadrature, et obtenir ainsi jk« en fonction de y. Substituant cette valeur dans la seconde équation, on aura C par une dernière quadrature.