L'expression

V" f^ Et ^ El. ^\

Zdi \àJ^i àjJi dpi dœil

qui forme le premier membre de l'équation (9), se représente ordinairement par (tl, ^ ). De la définition de ce symbole résultent plusieurs propriétés importantes, parmi lesquelles nous signalerons les suivantes :

(10) (c, «p)^=o (c étant une constante),

(11) (<{/, <p) = o (si <p et 4^ sont indépendants des /?),

ÉQUATIONS DIPFÉBENTIBLLBS ORDINAIRES. 53

Les formules (lo) à (i4) résultent iaimédiatement de la définition du symbole (^, ^ ). Pour vérifier la relation (i5), on remaix|uera que son premier membre développé est formé de termes dont chacun est le produit d^une dérivée du second ordre de Tune des fonctions ^i, cp2) ^ ps^r des dérivées du premier ordre de chacune des deux autres fonctions.

Considérons, par exemple, les termes qui contiennent les dérivées du second ordre de ^; ils seront de Tune des formes

dxidpk dpi dxk dxidpk dx^ dpi

Oxidxic dpi dpk àpidpk dxi dx^

et proviendront exclusivement des deux derniers termes de Téquation (i5).

On vérifie, d'ailleurs, aisément que chaque terme de Tune des formes ci-dessus provenant du second terme de l'équation est détruit par un terme correspondant provenant du troisième.

48. De la proposition que nous venons d'établir découle cette conséquence importante, connue sous le nom de théorème de Poisson :

Soient 0| , cp2 deux intégrales quelconques de V équation aux dérivées partielles

(où «1 est une fonction donnée): l'expression (^i, ^^) sera une nouvelle intégrale.

En effet, des identités

que Ton suppose satisfaites, on déduit immédiatement

((♦»?i)»?i) = (o,<pi) = o,

((?«, ♦)> ?i) =—(('!', tO, Ti) = — (o, ?,) := o •

54 TROISIÈMB PARTIE. — CHAPITRE I.

(4', (Ti, Ti)) — — ((?!» ?î), 4') = o.

Supposons donc que l'on connaisse un certain nombre d'intégrales distinctes ^ i, . . . , ^ j^ de l'équation proposée, on en déduira de nouvelles intégrales (^i, ^2)» • • •? (?a-o Ça). Si ces nouvelles intégrales sont des fonctions de cpi, ..., 9/^, cela n'apprendra rien de nouveau; mais, si quelqu'une d'entre elles (fM^t est distincte des précédentes, on pourra la leur adjoindre, puis refaire la même opération sur le système cpi, (p2) •••9 ?A+«9 ^^ ainsi de suite, tant qu'on trouvera de nouvelles intégrales distinctes de celles déjà connues.

49. Revenons à la théorie générale des systèmes d'équations simultanées de la forme (i). Si, dans un semblable système

(16) Fi = o, ..., F^ii^o,

nous changeons Xq^ . . . , o;» en ^0 + sÇo • • • • -^n -h s^/i» loi • • • » 5/i étant des fonctions de Xq^ . . . , x„, et e étant un paramètre infiniment petit dont nous négligerons le carré, nous obtiendrons de nouvelles équations

(17) G, = o, ..., Grt=o.

Si ces équations transformées sont des combinaisons linéaires des équations primitives, telles que

(18) G, = a,/F, -h ... 4-an/F« (« = i, ..,'*),

nous dirons que le système (16) admet la transformation infi-

uitésimalc io> * • • > ^t-

L'étude de ces transformations infinitésimales se lie intimement à celle des intégrales et des multiplicateurs du système proposé. Nous remettrons l'examen de celte question à la Section suivante, où elle se présentera sous une forme plus générale. Nous nous bornerons pour le moment à montrer

<QUAT101fS DIFFÉRENTULLES ORDUfAIRES. 55

que l'ordre du système peut être abaissé, si l'on connaît une transformation infinitésimale ^oi • • m i/i> ^^^'^ ^^^ Téquation aux dérivées partielles

i ^ t à/ , df

puisse être intégrée.

Soient, en effet, jk« , . . . , ^/i les n intégrales distinctes de cette

équation. Lorsque ^Tq, ...,:r/, seront changés en a:© 4- e5o> •••» x«-f- e5„, y^^ . . ., jK/i resteront invariables; car^,- se trouve accru de la quantité

Soit, d'autre part, r[ ce que devient Ç© lorsqu'on l'exprime en fonction de Xo, J^i » . . - , jK/i> et posons

Yi, — ,^„ étant traitées comme constantes dans l'intégra-

tion.

La transformation infinitésimale donnée, accroissant x^ d."

dy nj sans altérer jKi , • • • , ^/i> accroîtra y^ de eri ^-^ = e.

Si donc nous prenons pour variables indépendantes y^, /i) • • «7 ^/lî le système transformé ne variera pas quand ou accroîtra yo de e, sans changer les autres variables.

Cela posé, les équations de ce nouveau système, résolues par rapport aux différentielles dy^^ . . . , dyn, donneront un résultat de la forme

Pour que ce système se reproduise quand on accroît yo d'une constante e sans altérer les autres variables, il faut évidemment que Y|, . . . , Y„ soient indépendants de yo-

56 TROISIÈHB PARTIE. — GHAPITRB 1.

Il sufBra dès lors, pour intégrer ce système : i" D'intégrer le système d'ordre n — i

dyx __ dr„ Y, Y,'

ce qui donnera ^2, . . . , ^^ en fonction deVi ; :t° De substituer ces valeurs dans Téquatlon

dyo=-Y'f laquelle donnera yo p^^ une simple quadrature.

50. Parmi les cas d'intégrabilité de l'équation (19), le plus simple est celui où les variables sont séparées, Çq dépendant de Xo seulement, ii de Xt seulement, etc. Le système

dxo dxn

d'où dépend l'intégration de l'équation (19), s'intègre alors par de simples quadratures, et l'équation (19) admettra les intégrales suivantes :

/dxn C dx^

1® Supposons, par eiLcmple, que Ço^ • • • ? i/i soient des constantes. II faudra, pour réduire le système, prendre pour nouvelles variables les quantités

X\ X^ Xfi Xq

/dx^ Xq 17"

Xo p Xf

2® Supposons, en second Heu, Ço=— > •••» 5/1=-»

ÉQUATIONS DIFF6RE?ITIBLLBS ORDINAnSS. 67

nQ, , . . , a,i étanl des constantes. Les équations (20) deviendront

On en déduit

a<, log J^o — ai \ogXi ^= const. ( £ =1 1 , . . . , /i) ou, ce qui revient au même,

=1 CODSt.

Il faudra donc prendre pour nouvelles variables

SI. Lorsqu^on a une équation unique

dx'

.( dy d''-^y\

il est généralement avantageux de la remplacer par le système simultané

Ce système est susceptible d'abaissement, d'après ce qui précède :

I" Si Téquation primitive (21) est homogène par rapport à^et à ses dérivées; car le système (22) admettra évidem- >uent la transformation infinitésimale qui remplace j", jk'} ••• P^r^ 4- e^, jk'H- e^, • - • , sans altérer x]

a* Si Téquation primitive se reproduit à un facteur près, lorsqu'on y change x et ^ en x -{-ex, y-hty; car le système (22) admettra la transformation infinitésimale qui remplace ^, ^, y, y, ..., y""* par x-htx, ^4-ej, /, /- c/, . . . , ^«-« — (/i — 2)ejK''""' ;

58 TROISifcMB PàRTU. — t CUAPITRB I.

3° Si Tune des deux variables x, y ne figure pas explicitement dans Téquation primitive ; car cette variable ne figurera que par sa difTérentielle dans le système (22) et pourra se déterminer par une simple quadrature, quand on aura intégré le système d'ordre n — i, obtenu par Télimination de cette difTérentielle.

5â. Si nous supposons que, non seulement y^ mais ses k — I premières dérivées ne figurent pas explicitement dans l'équation primitive, on n'aura, pour déterminer y^j ..., ^'«~*, qu'à intégrer un système d'ordre n — k

Ayant ainsi déterminé j*, on trouvera, par une série de quadratures,

puis

/*"* ^fdx i^fy^ dx ) ,

expression que nous représenterons par la notation suivante :

yk-\ -- J yk fj^t ^

On trouvera de même

yk-^ z^ fy^-^ dx =z fy^ dx^

et enfin

yz=fy^dx^.

53. Ces quadratures successives peuvent être remplacées par une quadrature simple.

Soit, en efTet, /(x) la valeur trouvée pour y^ en fonction dex. On aura, pour déterminer jk» à intégrer l'équation

Or on reconnaît aisément que cette équation admet, comme

ÉQUATIONS DIFFfiRENTIBLLBS ORDINAIRES. 5x)

solution, rintégrale définie

Prenons, en effet, les dérivées successives de cette expression par rapport au paramètre x] il viendra, en remarquant que /{i) (^ — /)*"* et ses k — a premières dérivées par rapport à X s'annulent pour t = Xj

Posons maintenant ^' = j^, -h -5 dans l'équation proposée ; il viendra

^::=0, d'où 5=:P^i,

P*-i désignant un polynôme arbitraire de degré k — i. La solution la plus générale de l'équation proposée sera

donc

d4. Considérons l'équation du second ordre On aura le système

rfx'

Sous cette forme, il est aisé de voir que l'intégration peut être ramenée aux quadratures, toutes les fois que la

6o TROISltalB PAKTII. — GBAPITRB 1.

fonction / ni contient qu'âne seule des trois quantités

1° Si /ne dépend que de a;, la seconde équation donnera

et Ton trouvera ensuite

/=/ /(a?)cte-i-c,

=z f y'dx -hc'= f dx\ Ç f{x)dx

-h ex -h c'.

2" Si f ne dépend que de y, on déduira des équations cidessus la suivante

y'dy=f{y)dy cl, en intégrant,

et enfin

dx:=z -^y

d'où

Vf:

3" Si /"ne dépend que de^', on aura

tQCATIONS DIPFÉUHTULUa OUDUUBS. 6l

d'où

On aura donc x et^, exprimés tous deux en fonction de la nouvelle variable y.

55. Comme autre application, cherchons à déterminer les courbes dont le rayon de courbure en chaque point est proportionnel à la portion N de la normale interceptée par Taxe des X.

Le rayon de courbure R est donné par la formule

D^autre part, en désignant par a Tangle de la tangente avec Taxe des x^ on aura

Les courbes cherchées auront donc pour équation diiTéreniielle

dx^

dx^ ny L \d^ ) J

Cette équation du second ordre équivaut aux deux sui-

6a TROISlfiMB PAETIB. — CHAPITRE 1.

vantes

dx ny ^ ^ ''

da:-^' On déduit de leur combinaison

y'dy' dy

»-+-/* ny

et en intégrant,

1 log ( I 4- /» ) = ^ log V 4- const. ,

et enfin

-vW^'

Parmi les cas d'intégrabilité de cette expression, on doil signaler particulièrement les suivants :

i** /i = — I, d'où

{X — c')'4- J*=iC*.

La courbe est un cercle ayant son centre sur Taxe des y. 2'' /i = I , d'où

•^ = c logî^^ ^^^ h c',

tQCÀTIONS DIFFÉRENTIELLES OBDINAIRES. 63

d'où

y — ^/* — ^* •=.ce ^ et enfin

équation d'une chaînette.

3^ n = — 2, d'où

Posons

il viendra

7=-(i — cos<p), rf/=: -sin<pt/<p;

C ^ \ — cosç c . , r^ <P c . ,

= - / asin*- <prf<p= - 1 (i — cosç)rf<p = - (cp — sin<p)4-c'.

La courbe est une cycloïde. 4" /i = 2, d'où

a:=J ^yf—dy=2s/c(y-c)-^c'y

équation d'une parabole.

36. Proposons-nous, comme dernière application, de déterminer le mouvement d'un point attiré vers un centre fixe par une force égale à mf(r)^ r désignant le rayon vecteur ^im la masse du point mobile.

Prenons pour origine des coordonnées le point attirant, et pour plan des xy celui de la vitesse initiale. D'après les principes de la Mécanique, la loi du mouvement ser'a donnée

64 TBOISIÈMB PABTIB. — GHAPITBE I.

par les deux, équations

On déduit de ces équations les combinaisons intégrablcs

suivantes

(Px d}y d ( dx dy\

''^^'dt^ ^'^di^^diYdt'''^di)

dx d*x dy d}y ^, ^xdx-\-ydy dt dt* ^ dt dt^ ^J^'f rdt

I d dx- -+- dy- dr

~~2di dF'^'^'^^''^di'

dont l'intégration donne deux équations du premier ordre

dx dy

-^ dt dt '

1 dx^ -+■ dy^ ... . ,

Remplaçons les variables x, y par des coordonnées polaires

jrrrz rcostc, j/==i /sinoi);

ces équations deviendront

(î*4) ^^i -\-ff{r)dr = o;

à*o\Xy en résolvant par rapport à diù et dt et intégrant,

cdr^

ryj^c*--:,r^fj{r)dr'

/rdr

Le problème est ainsi ramené aux quadratures.

Les formules précédentes contiennent, comme cela devait

ÉQUATIONS DIFFfiBKNTlKLLBS OBDINÀiRBS. 65

être, quatre constantes arbitraires, à savoir c et les trois con« stantes introduites par les intégrations.

57. Appliquons ces formules au cas de l'attraction newtonienne, où/(r) = — ,-> k désignant une constante, et M la masse du point attirant; on aura

//(r)rfr = -^+c'.

d'oà

cdr

J rsf^

H- aArMr — ac'/*

1 , du ou, en posant r = - > dr =: -i

cdu

Cl)

qAtMm — c-u^ c* du

\/k'\\^—2c'c* — (c*u — kU)*

c^u — kM ^

= arc cos . -+- c^,

c*w = kM -i-y^Ar*M*— ac'c* cos(u) — c')

)tM -h v^yt*M* — 2c'c« cos(w — c') P