I -t-ecos(w — c*) en posant, pour abréger

On aura enfin

(26) dt=^r*du>= , ,,,

^quaiioD qui déterminera t par une quadrature.

l" Cours, Uh 5

66 TROISlfeMB PàBTIB. — CHAPITRB 1.

Le problème deviendra complètement déterminé si Ton donne à un Instant quelconque /« les coordonnées To, coq du mobile, sa vitesse initiale (^o ^^ l'angle ao qu^elle fait avec le rayon vecteur. On a, en effet, en appelant v la vitesse à un instant quelconque, a Tangle qu'elle fait avec le rayon vecteur

dr^ ■+■ r* é/w* . .dit)

-j- =^v^y r' -y- = ri* sin a.

dl^ ' dt

Les équations (aS) et (^4) peuvent donc s'écrire

rv sin a = c,

On aura donc, en posant / = o,

On déterminera ensuite d' en posant / = ^o dans Téquation (25); enfîn, Téquatlon (26), intégrée de /o ^ ^9 donnera

'"~J^, c[i-+-ecos(u)-.c')]»'

L'équation (sS) entre r et co fait connaître la trajectoire du mobile. C^est une conique ayant un foyer à l'origine. Ce sera une ellipse si c'>o, une parabole si c'=o, une hyperbole si c'< o.

On a, d'autre part, en désignant par A l'aire comprise entre la courbe et les rayons vecteurs r et ro,

\r* doi=: dk.

L'équation (23) peut donc s'écrire

dk

ÉQUATIONS DlFPfiRENTIBLLSS OBDUfÀiBBS. 67

d*où, en intégranl de Iq à t,

Les aires décrites par le rayon vecteur sont donc pro^ porlionnelles aux temps correspondants.

Supposons la trajectoire elliptique, et cherchons la durée T d'une révolution. L'aire A correspondant à cette période de temps sera Taire totale nab de Tellipse. On aura donc

Tzab=:-T.

D'ailleurs

c = sfkWp =z i/kM ~

Substituant cette valeur dans Téquation précédente, il viendra

La durée de la révolution est donc indépendante de ^^ excentricité de l'ellipse, et proportionnelle à la puissance | de son grand axe.

Nous avons ainsi retrouvé toutes les lois fondamentales énoncées par Kepler.

I?. — Équations linéaires aux différentielles totales,

S8. Les systèmes d'équations difTérentielIes simultanées étudiés dans la Section précédente ne sont évidemment ({uuacas particulier des systèmes d'équations linéaires aux. ^'fférenlielles totales, de la forme

0) Fj,=^dx,^^\^,dXH=^0

68 TROISlàMB PàBTIB. — CHAPITRK I.

Cherchons à déduire de ces équations une combini intégrable

On aura évidemment

Éliminant les [x, on voit que ^ sera une intégrale comi aux m équations aux dérivées partielles

ik àxk (// = I, 2, . . ., m; A: = m -H I, . . ., m -i- w).

Supposons que ces équations admettent n, intégrales * munes distinctes ^i, ..., On (nous verrons plus loin quel cas il en est ainsi). Soient j'i, . . ., y m de nom fonctions des x^ formant avec les y un système de fonc distinctes. En prenant les ^ et les jk pour variables, les i tions (2) prendront la forme

et seront manifestement équivalentes aux suivantes :

-3 ^^ Oj • • • ï ~j — o.

àyx ôy,n

La forme la plus générale des fonctions qui satisfont équations est évidemment

F désignant une fonction arbitraire.

Les fonctions ç^i, ..., cp;, étant des intégrales du tème (2), on aura des relations de la forme

?i=\ ri^*:

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDLNAIRBS. 69

Cl le système (i) équivaudra au suivant d'où Ton déduit

ç, z=z const. , . . . , ?rt = const.

doi

. Le déterminant {x des coedicients [a^= -r^ se nomme

le multiplicateur correspondant aux intégrales f i, . . . , fi,. En remplaçant ce système d'intégrales par d'autres systèmes d'intégrales distinctes, on obtiendra une infinité de multiplicateurs, et Ton voit, comme au n° 43, qu'ils ont pour forme générale |jLF(;p,,. . .,Ç/i).

Soient a Fun des nombres i, 2, •.., m; ^ Tun des nombres m + 1 , . . . , m -^ n. Désignons par Dp ce que devient le déterminant pi lorsqu'on y remplace les éléments

\^(/= I, 2, . . . , n) par les éléments -r-^ = — \ XJ-r^;

on aura évidemment

On en déduit par difTérentiation, comme au n^ 44,

Réciproquement, toute solution commune \k' des équations (3) est un multiplicateur; car, en posant ^'=[xv, on ^erra que v est une intégrale des équations (2); donc v sera de la forme F(çi , . . .,<?«), et |x' sera un multiplicateur.

60. Si l'on a réussi à déterminer i intégrales distinctes îh..., Çi du système (2), on pourra, comme au n" 45, en les prenant pour variables indépendantes avec d'autres fonc- ^^ûs/,, . . ., ym^n-i choisies à volonté, remplacer le sys-

tème (i) par un système équivalent, de la forme

(4) ^?i = o, ..., d<fi=^o,

(5) rf/^t— \ Yj<rA==o {k = ni-^\,.,.yni-i-n'- i).

On en déduit

?pt = const., ..., {p/ii^const.,

et i] ne restera plus qu^à intégrer le système des n — i équations (5).

D^ailleurs, si Ton connaît un multiplicateur du système (i), on en déduira, comme au n° 45^ un multiplicateur de ce nouveau système.

Si donc on a réussi à déterminer n — i intégrales et un multiplicateur du système (i), il ne restera plus qu^à intégrer une seule équation, dont on connaîtra un multiplicateur. Le problème sera donc ramené aux quadratures.

61. Les considérations qui précèdent nous conduisent à chercher les intégrales communes à un système d'équations aux dérivées partielles de la forme (2). Mais il conviendra de généraliser la question^ en cherchant les intégrales communes à un système d'équations de la forme plus symétrique

X'i-r^ -h...-hX^„^^ y =0 (A = 1,2, ...,/n).

Si nous désignons par X^ l'opération

ces équations pourront s'écrire ainsi

Cela posé, toute solution commune à deux de ces équations

X'cp=0, X*ç=:0

satisfera à réqualion nouvelle

(p = 1, . . ., m -h /i; (j=3 I, . . ., m 4- /i); car on a séparément

X'X*(p=X^(0) = 0, X*X'oii::X*(o) = 0.

Si d'ailleurs nous désignons pour plus de clarté par/>i, ..., Pn^n les dérivées partielles ^-^> • • • > -r — = — > on aura

et le symbole (X'<p, X*;p), défini comme au n° 47, aura pour

valeur

Ainsi, toute intégrale commune aux équations

satisfera en outre aux équations

lesquelles sont, comme les précédentes, linéaires et homogènes par rapport aux dérivées partielles de (f.

Si parmi ces équations nouvelles il en est qui soient linéai- Soient distinctes des équations primitives, on pourra les leur joindre et recommencer les mêmes opérations sur le système ainsi complété. En continuant à suivre cette marche, «eux cas pourront se présenter :

'** On arrivera à un système contenant m -^ n équations <l>slincles; on en déduira

-r^ =1 o, -T-^ =0, .... d'où © = const.

7^ TROISlfcMB PABTIB. — CHAPITRE I.

En dehors de celte solution banale, les équations propos n'auront donc aucune intégrale commune.

2" On arrivera à un système

X*<p=io, ..., X'<p=:o (/</7t4-/l),

tel que toutes les nouvelles équations que Ton peut en dédi soient des combinaisons linéaires des précédentes. Ce systf satisfera donc à des relations de la forme

X'X*(p — X^X'ç = (X'cp, X*<p) == a\*X» <p 4-. . .4- «J^X'ç (f = 1 , 2, . . . , c; Ar = I) 2) . . . , i),

cil les a sont des fonctions des x.

Un semblable système se nomme un système complet.

62. Si dans un système complet nous prenons pour riables à la place de X|, x^y ... de nouvelles variables j'j, . . . , le système transformé

Y'o = Y' f^ 4 y; ^ +...=, o (/= I, 2, . . . , /) 'dfx *d/, » » > /

sera encore un système complet; car les opérations Y*, . Y' n'étant autre chose que les opérations X*, . . . , X', di rcmment exprimées, on aura encore

Y*' Y*cp — Y* Y^cp = a'j^" Y» (p 4- . . . -+- aj* Y'p,

et il ne restera qu'à exprimer les quantités a en fonction nouvelles variables y.

D'autre part, tout système

A'cp=: a'jX'cp 4-, . .4- ajX'<p=:o (t=i, 2, . . ., /)

équivalent au système complet

est lui-même un système complet.

En effet, l'expression

(Vç,A*cp)

ÉQUàTIOXS différentielles OttDIIlAIRES. 7 3

tsi une somme de termes de la forme

Or(a^, a^) est évidemment nul, puisque les a ne contiennent pas les variables/?; d'autre pari, (ax,Xi*<p), (X^cp, aj^) se réduisent à des fonctions des x'^ enfin (X^cp, Xi^f ) s'exprime linéairement au moyen des X* cp, . . . , X'ç. Donc (A'ç, A*ç) est une fonction linéaire de ces quantités, qui sont ellesmêmes des fonctions linéaires de Â* o, . . ., Â'f .

63. Étant donné un système complet, contenant m équa- ÛODS, par exemple, où figurent m-\-n variables Xt, ..., ^h+h) on obtiendra, en résolvant ces équations par rapport

à -p-) • • • > -T-^9 un système équivalent, de la forme

ik dxk (/i =1 1, 2, . . ., m; A: = m H- I, . . ., m -h /i).

D'après ce qui précède, ce nouveau système sera encore

complet.

l^s systèmes complets de la forme (6), auxquels nous pouvons dorénavant borner notre étude, ont reçu le nom de sysbernes jacobiens.

Pour ces systèmes particuliers, les équations de condition

qui caractérisent en général les systèmes complets, se réduisent à la forme plus simple

(X'cp,X*ç) = o.

En effet, (X'ç, X*cp) est évidemment indépendant de ^— > • • • > ^j Undis que a'* X* cp + a'/X^y -j- . . . contient ces d jri-

> 'L m if

^ees respectivement affectées des coefficients a, , a^ , ....

Ces expressions ne pourront donc être identiques que si les a sont tous nuls.

Ô4. Théorème. — Un système jacobien formé de m équations entre m-\-n variables admet n intégrales distinctes.

Nous avons admis provisoirement dans la section précédente la vérité de ce théorème pour le cas d'une seule équation; et nous pourrons évidemment supposer dans la démonstration qu'il ait été reconnu vrai pour les systèmes formés de moins de m équations.

Soit

(7) X»Çi=::0, ..., X'»<p = o

le système proposé. La première équation, considérée isolément, admet m-^- n — i intégrales distinctes y^^ . . . , ym^n» Soit^i une autre fonction quelconque, distincte de celles-là. En prenant les^ pour variables indépendantes, nous obtiendrons un système transformé

XA«zi=Mt^4-MÎ^-h...=:o (A = 1,2,..., m),

dont la première équation, admettant y^^ . . ., ym^n pour intégrales, se réduira à son premier terme

, (J© (?cp

Ces équations, résolues par rapport à -r-^, • • •> -r-^y don-

^y\ ^ym

neront un système jacobien

I* àyk

(/i = 2,...,m; X:=:m -hi, . . ., m 4- /i).

ÊQDÀTI0N8 DiFFÉRElfTiBLLES ORDINAIRES. 76

Or on a évidemment

et, pour que cette quantité s'annule identiquement, il faut qu'on ait

àyy

Les équations (9) sont donc entièrement débarrassées de la variable j^i. Elles forment, d'ailleurs, un système jacobien de m — I équations à m-k- n — i variables y^^ . • . , ym^m lequel système admettra par hypothèse n intégrales distinctes. Ces intégrales, ne dépendant pas de y^j satisferont encore à l'équation (8). Il ne restera plus qu'à remplacer dans leur expression y 2^ • . . , ym^n par leurs valeurs en Xi , . . , , Xm^n pour obtenir les intégrales correspondantes du système primitif.