Soit

le système d'intégrales distinctes du système (7), dont l'exîslence vient d'être démontrée. Ces intégrales, considérées comme fonctions de Xm^^, ..., Xm^n seulement, seront encore distinctes.

Admettons, en effet, qu'elles satisfissent à une relation de la forme

L*opération X^, appliquée à cette identité, donnerait ôF^. dF^. dF dF

(car Çi, . . . , <p;i sont des intégrales de l'équation X^cp = o). La fonction F serait donc indépendante de j?i , . . . , Xm^ et les fonctions cpi, . . . , cpi^ ne seraient pas distinctes, résultat con-' ^ircà leur définition.

Posons maintenant

C|, • • • T ^A7t désignant des constantes arbitraires. Les quantités <j;|, . . . , ^„j définies par ces équations, seront des fonctions distinctes des intégrales primitives ^/(^i, •• *',J^m+n)* Elles formeront donc un nouveau système d'intégrales distinctes. Elles jouiront d'ailleurs de la propriété caractéristique de se réduire respectivement à a^m+i i • • - ? -a^m+vu lorsqu'on donne simultanément k Xi, .,,, x,n les valeurs particulières C\, . . . , Cm*

Cela posé, remplaçons les m premières variables oTi, . . ., Xm par de nouvelles variables jKn • • '^J'iny définies par les relations

(lo) ^A = 0, -+-(7i — Ci)j/i (A — i»2, ...,m),

et résolvons les équations transformées par rapport à -~> •••, -T^' Nous obtiendrons un nouveau système jacobien

^ ^ ^ dfh Làk àxk

[h =zi,2, . . . , /n ; A" =: m -h I , . . . , /;i -H /2 ).

Les fonctions <]/{, • . ., t];,^, exprimées au moyen des nouvelles variables, donneront un système d'intégrales distinctes des équations (i i). Elles se réduiront d*ailleurs respectivement à Xm^i, ...,^/ii4^ lorsque j'i =C|, quels que soient ?'a> ••Mv^/»î car, pour ^, = C|, les équations (lo) donnent

X^ = Cj , • • . , Xfn = C|w.

66. Pour intégrer le système transformé (ii), il suffira, comme Ta montré M. Mayer, d'intégrer l'équation unique

(la) Y><pz=:o.

A cet eflet, nous remarquerons que cette équation admet les intégrales ^i, . . ., ^/,, lesquelles, jointes aux intégrales

fiQUlTIONS DIFFÉRBIfTIELLRS ORDINAIRES. 77

évidentes ^'2» • • • > J'mi donneront un système de m 4- /i — i intégrales distinctes. Toute autre intégrale

jKyiJ • • • > y m î •^/w-f-l» • • • > ^m-¥n)

de cette équation sera donc une fonction de celles-là, telle que

** { Xit • • • > y m î Vî » • • • > V/i )•

Si dans Tégalité nous donnons à y^ la valeur constante C|, il viendra et, par suite,

On voit par là qu'une intégrale quelconque / de Téqualion (12) étant supposée connue, on obtiendra immédiatement son expression en fonction de ^^2. . . ^^ ymi ^d • • «y ^n, en remplaçant dans la fonction / les variables j', , Xm+i ? • • -, Xm^ par C|,t|^,, ..., ^'ji-

Cela posé, admettons que nous soyons parvenus à intégrer Téquation (la), en y considérant j^i , Xm^x^ ..., x^+w comme seules variables, et ^2? • • ^^ym. comme des paramètres (ce qui revient, comme nous Tavons vu, à déterminer une solution générale d'un système de n équations différentielles ordinaires). Soit /i , . . . , //t un système d^intégrales distinctes de cette équation; on aura, ainsi qu'on vient de le voir,

F|, ..., F/i étant des fonctions connues de j'2» •••» ym\ '}i, . . ., ^/i; et il suffira de résoudre ces équations par rapport à 6|, ..., ^/i pour déterminer ces fonctions, lesquelles forment un système d'intégrales des équations (11). D'ailleurs, la résolution de ces équations ne sera jamais impossible, car les fonctions j'j, ...jj'mî/i» •• ?/« étant distinctes,

78 TROiSIËUB PARTIE. — CHAPITRE I.

/o • • '^/n sont nécessairement des fonctions distinctes par rapport à ij^i, . • ., ^„.

67. On peut aller plus loin et montrer que la connaissance d'une seule inlégrale/i de Féquation (12) permet de déterminer une ou même plusieurs intégrales du système (11). On aura, en eflet,

A — Fi (jt, v„. ; i]^,, . . . , ^n ),

F| étant une fonction connue. Résolvant cette équation par rapport à ({/|, on aura une relation de la forme

où 0| est une fonction connue.

Eflectuons sur cette identité l'opération Y^, h désignant l'un quelconque des nombres i, 2, ..., m. Il viendra, en remarquant que <]/|, . , .,i(n sont des intégrales de Y^(p = 0,

o = Y"0, ^ ^ YV. + . • • + ^P- Y*:r„,,.

Le second membre de cette équation est une fonction connue de ^i, . . . , x^^ni ^2^ • • • > ^n» S'il ne s'annule pas identiquement, il contiendra l'une au moins des quantités <j/, par exemple ^a î car les variables y^y . . . , Xm^„ sont indépendantes. En résolvant par rapport à ^2, on obtiendra une relation de la forme

Effectuons sur cette équation l'opération Y^, on en déduira une nouvelle équation pour déterminer tj^s, et ainsi de suite jusqu'à une dernière équation qui donnera ^„. Le système (i i) sera dès lors intégré.

On ne pourra se trouver arrêté dans cette suite d'opérations que si Ton arrive à une équation

ÉQUATIONS DIFFÉRKNTIBLLBS ORDINAIRES. 7g

pour laquelle on ait identiquement

Mais alors, en remplaçant dans 0/ les fonctions inconnues {"/^.ii •-•9^/1 p^r des constantes quelconques, on obtiendra une fonction cp/ qui satisfait évidemment aux mêmes équations, et qui sera, par suite, une intégrale du système (i i)*

68. Nous pouvons énoncer, comme résultat de cette étude, le théorème suivant :

Pour quHun système adéquations aux différentielles totales

(I) F^. = dxi, -^^XJ dxH = o

(A r= I, 2, . . ., m; kz=.ni-\- i, , . .y m -h n)

admette n intégrales distinctes

«Pi = const., ..., (p„=:const.,

il faut et il suffit que les équations aux dérivées partielles

forment un système jacobien.

Cette condition étant supposée remplie, la recherche des intégrales du système dépend de V intégration d'un système de n équations différentielles simultanées.

Chaque intégrale de ce dernier système fournira au moins une intégrale du systèjne proposé.

69. Soit S un système d'équations aux différentielles totales de la forme (i).et admettant n intégrales distinctes ?«, ..., Çrt. Si nous y changeons ^i, ..., Xm^w en x^ -}- eÇn •••? ^«+fl -7- €5i„.jj,, £ étant un paramètre infiniment petit, dont nous négligerons le carré, et Ç| , . . . , \m.{M des fonctions de '''<'•••; ^m+/i, nous obtiendrons un autre système S'.

8o TROISIÈHB PARTIE. — CHAPITRE I.

A toute intégrale cp du système S correspondra évidemment pour le système S' une intégrale

en désignant par A l'opération

ta t ^

Cette opération est complètement définie quand Ç|, ..., \m^n sont donnés, et réciproquement. Soient d'ailleurs y ht • • • 7 yni^n de nouvelles variables quelconques, fonctions des X, Lorsque X|, . . ., x„i^n s'accroissent respectivement de eÇ|, ..., eÇ/iî+zi? ^/s'accroîtra de

(i ^^'-4- -4-^ JyiJ\

quantité que nous désignerons par vi\i. D'autre part, on a évidemment

à __dy\ à ^ dyt d ^ dxi dxi (J/i dxi ày%

On déduit immédiatement de là l'égalité

dx, """"^^m.-„ "^/. ""^"dy

L'opération associée à la transformation infinitésimale considérée reste donc la même, lorsqu'on change de variables indépendantes.

Nous désignerons, pour abréger, par Açpla transformation infinitésimale qui correspond à l'opération A, et qui, par suite, change l'intégrale cp en ç -|- e Acp; et nous dirons que le système S admet cette transformation infinitésimale Ao si le système transformé S' est équivalent à S.

Pour cela, il faut et il suffit que le système S' soit équivalent au système

tQUATIONS DIFFÉRBNTIKLLBS ORDINAIRES. 8l

auquel S est équivalent; et, par suite, que les systèmes S et S' admettent les mêmes intégrales.

Or à toute intégrale cp de S correspond une intégrale o-h eA^ de S'. Celle-ci devra êlre une intégrale de S, ou, ce qui revient au même, Af sera une intégrale de S.

Si donc nous désignons, comme précédemment, par

les équations aux dérivées partielles qui caractérisent les intégrales de S, ces équations devront entraîner comme conséquence les suivantes

OQ, ce qui revient au même, celles-ci

[car on a identiquement AX*cp = A(o) = o]. Cela posé, le système formé des équations

X*cp = o, (X'^tp, A<p) = 0 (A=:i, 2, . . ., m),

admettant n intégrales distinctes cpi, . . ., cp/,, ne pourra contenir plus de m équations linéairement distinctes. On aura

doDc

(i3)(X'^o,Aç) = aîX'cp-+-...4-a*X'«<p (A = i,2,...,/i0>

les coefBcients a étant des fonctions des x. D'ailleurs il est évident que ces conditions seront suffisantes.