Toute expression de la forme
\ ÇiX^«p {i-=iy 2, ...,m)
^ep'^ésente une transformation infinitésimale de S en lui-
•nême.
J. - Cours, III. 6
En eflet, on a
=^^xn,x'<p,
car (X*!p, X'çp) est nul; et, d'autre part, on a
Si donc S admet une transformation infinitésimale
il admettra évidemment la transformation laquelle se réduit à la forme
II nous suffira évidemment d'étudier les transformations de celte sorte, toutes les autres pouvant s'en déduire par l'adjonction d'une fonction linéaire de X'^, .. ., X'"çp.
Pour les transformations de la forme Bcp, les équations de condition (i3) prendront la forme plus simple
car le premier membre de ces équations, ne contenant pas
les dérivées partielles -r-^> •••> -r-^y ne pourra se réduire à
une fonction linéaire de X'cp, . . ., X'^cp que s'il s'annule identiquement.
71. Si S admet deux transformations B(p, B'ç, il admettra la Iransformalion (Bcp, B'^p).
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES OaDINAIRES. 83
Oa a, en effet (47), rideiitité (X*?, (B<p, B») -+- (B<p, {B'ç, XA<p)) -4- (B'<p, (X'^ç, Bç)) ^ o.
Mais (X^s, B'^) et (B'cp, X^cp) sont nuls par hypothèse; donc cette égalité se réduira à
(X*cp,(B^,B»)=:zO.
72. Soient B'cp, ..., B'cp des transformations du système S qui ne soient liées par aucune relation linéaire; si Texpressioo
est une autre transformation du même système, ^i, ..., ^/ seront des intégrales, et réciproquement. On a, en effet,
(X*ç,Bç)=^^(X''ç,p,B^ç)-
=^^[(X''^,p/)B'cp-f-(X'^9,B'ç)p,]=^^X^p,B'ç,
expression qui ne peut s'annuler, par hypothèse, que si tous les coedGcients X^^/ sont nuls, ce qui montre que ^i est une
intégrale. *
73. Enfin, si Ton connaît un multiplicateur [x du système S et une transformation infinitésimale B;p, on en déduira une intégrale.
Soit, en effet,
B«p=:\ ii-T^ (e = m H- I, . . .,m-h/i). Nous aurons, quel que soit hy
Làiàxhdxi Z^iZÀkK ^ oxk ^ dxk) àxi ' et k variant de m 4- i à m 4- n.
Dans cette identité, les coefficients de chacune des dérivées partielles -^ doivent être nuls séparément; nous aurons donc
DifTérentions cette équation par rapport à œi] sommons par rapport à i et supprimons les termes qui se détruisent; il viendra
^idxhOXi ^iLmàk\ oxiOXk oxiôxk)
\2jiàxiJ \2uidxi)
Mais on a, d^autre part,
dxH
JLki àxi
ou, en développant et divisant par [jl, L'équation précédente pourra donc s'écrire
Cette équation, qui a lieu pour /i = i,..., m, montre que
est une intégrale.
74. Admettons qu'en combinant les procédés ci-dessus, ou autrement, on ait réussi à obtenir p intégrales dis-
fiQUÀTIOlVS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 85
iinctes ^i, ..., cpp du système S. En prenant cpi, .. ., cpp pour variables à la place de ^m+o •••» ^/n+p P^^* exemple, les équations X^o = o seront transformées en de nouvelles équations de même forme, mais ne contenant pas les dérivées
partielles ^ » • • • > -t-^> puisque cpi, . . . , <fp sont des solutions.
On aura donc
à:Ph ^k dxk ( /i = I , a, . . . , /w ; A" zi^ /;i -+- /> -h I , . . . , m -H w ),
les Xj[ étant des fonctions de fi, ..., fp, x„,^p^xi •••>
Soient B'cp, ..., B^cp, ... les transformations infinitésimales que Ton suppose connues. On aura
D'ailleurs, cp/ étant une intégrale, B^cp/=: pj sera également une intégrale. Si nous admettons que nous ayons tiré tout le parti possible des procédés ci-dessus indiqués, cette intégrale ne sera pas nouvelle, mais se réduira à une fonction de
Posons, pour abréger^
et supposons que, parmi ces expressions, il y en ait q qui soient linéairement distinctes, à savoir A', . . ., A^. Les suivantes A^"*"* , . . . seront de la forme
a^^h.=y;a'h-...4-yJ[a^
'es coefficients y étant des fonctions des p, et par suite étant des intégrales.
86 TROISIÈME PARTIE. — GUÀPITRE I.
Cela posé, on aura évidemment
Dv-o étant une nouvelle transformation infinitésimale, qui se réduit à la forme plus simple
Admettons que, parmi les transformations de cette sorte ainsi déterminées, il y en ait r linéairement distinctes D'cp, ...,
Toutes les autres seront de la forme
où les quantités e ,,..., s^ devront être des intégrales, et par suite des fonctions de ^i, . . ., ^p.
Réciproquement, toute expression de cette forme représentera une transformation infinitésimale du système S.
En particulier, les transformations
(D'<p,D*cp) ne contenant pas dans leur expression les dérivées -~ > •••>
(Jcp
> devront être de cette forme.
75. Cela posé, deux cas pourront se présenter : I® Si /> 4- /• <^ rij les équations
X*<p = o, D'cp = o (A =:i, 2, . . ., m; I =:l, 2, . . ., r)
entre les m-^-n — p variables j:,, . ..yXm^ ^m+p+o • • •» J^m+n (^1, ' •'t^p étant traités comme des paramètres) forment un système complet, en vertu des relations
(X'ç,X*?)=o, (D'(p,X*<p) = o, Ce système admettra donc n — p — r intégrales, Çp+i, ...>
On^ry qui sont évidemment celles des Intégrales du système S qui ne sont pas altérées parles transformations D'cp, ..., D'*cp. Lorsqu'on les aura trouvées (par Tintégration d^un système de /i — p — r équations diflcrenlî elles ordinaires), les r intégrales encore inconnues dépendront de Tintégration d'un second système de r équations diflerentielles.
L'avantage obtenu dans ce cas consistera donc à décomposer en deux le problème de la recherche des intégrales
?/>+i< • • '9 ?/i encore inconnues.
2** Si /> 4- r = /? , la connaissance des transformations D'o, . . ., D''ç fournira un multiplicateur du système.
Soit, en effet,
et désignons par A le déterminant des coefficients Çj[; par J lejacobien des intégrales inconnues fp+\, ..., f/i par rapport aux variables Xi^,
Formons le produit AJ par la règle connue; on obtiendra un nouveau déterminant I, dont les éléments sont les quantités D'fA- Or ces expressions sont des intégrales; donc -j sera une intégrale ; d'autre part, J est un multiplicateur ; donc J sera également un multiplicateur.
Or cette quantité est égale à -> quantité connue.
