V. — Étude directe des intégrales

76. Les méthodes que nous avons exposées jusqu'à présent avaient pour but de trouver l'intégrale générale des équations différentielles. Mais elles ne réussissent, comme on l'a vu, que dans des cas fort limités, et nous ne pouvons même assurer que l'intégrale cherchée existe en général, car son existence a été admise sans démonstration.

Il est donc nécessaire de reprendre le problème de Tinté-

88 TROISIÈHB PARTIE. — CHAPITRE I.

gratîoD, en le précisant, de manière à le rendre déterminé. La question ainsi posée peut se formuler ainsi :

1° Étant donné un système adéquations différentielles normales

dy j,, . dz ,

démontrer qu^il existe, sous certaines conditions à préciser, un système unique de fonctions y, 2, . . . jouissant de la double propriété de satisfaire à ces équations, et de prendre respectivement des valeurs données yoj Zo, ... pour une valeur donnée Xo de la variable indépendante;

2° Donner une méthode qui permette de calculer, avec telle approximation quon voudra, la valeur de ces Jonctions pour toute valeur réelle ou imaginaire de x;

3® Enfin, discuter les cas d^exception oà les résultats établis se trouvent en défaut.

77. Supposons tout d'abord que les variables et les fonctions considérées soient réelles; et considérons, pour éviter des longueurs, le cas de deux équations

Nous devrons admettre pour la démonstration :

I® Qu'aux environs du point (^oj^oi ^0) les (onctions/,

f^ sont continues. On pourra donc assigner un domaine D

défini par les relations

dans lequel les inégalités

entraîneront les suivantes X tendant vers zéro avec e.

ÉQUATIOlfS DIFFÉRBIITIELLES ORDINAIRES. 89

2® Nous admettrons en outre que dans ce même domaine on ait constamment

\f{^,y,z')^/(x,y.z)\<m[\y-y\-^\z'-z\l |/.(^,/,-')-/.(^,7,^)|<'n[|/-jK| + |^'-5|],

m désignant une constante fixe.

Les conditions ci-dessus, seules nécessaires à la démonstration, seront évidemment satisfaites si aux environs du point (xoj Xot So) les fonctions /, /i admettent des dérivées partielles finies.

Supposons-les remplies. Soit M le maximum des modules de /, /i dans la région D; et soit p la plus petite des deux

quantités r, ^ •

Donnons à x une valeur quelconque assez voisine de Xq

pour qu'on ait

Subdivisons Tîntervalle x^x en intervalles partiels XoX|, J^t^Tj, ..., Xn-\X^ et déterminons les quantités j'i, Zx\ /îi ^2 ; - • • 5 J^j ^ par les relations

y\ — y^ ^=^ f\^oi yoi -^oj^^i — ^o).

On déduira de ces relations

k—Zi\^M\X,t'-'Xi\y

^^iCD particulirr,

Les points (xi, ^i, Z|). . . . , (x,^, z) ne sortiront donc pas du domaine D.

78. Si les intervalles partiels sont infiniment petits, les valeurs finales y, z tendront vers des limites déterminées. Pour l'établir, considérons deux modes de division A, à! dans lesquels les intervalles soient tous moindres que la plus

petite 8 des deux quantités e, jrr et désignons par y^ z et y,

z' les valeurs finales obtenues pour chacun d'eux; nous aurons à prouver que y — y et z' — z tendent vers zéro avec e.

Nous pouvons évidemment admettre que tous les points de division qui figurent dans A figurent aussi dans A'; sinon nous pourrions comparer successivement ces deux divisions A, A' à une troisième A'' formée avec tous les points de division de A et de A'. Ayant prouvé que y — y, z" — z d'une part, eiy — y y z^ — s' d'autre part, tendent vers zéro, on verrait immédiatement que leurs différences j^ — y^ :d — z tendent aussi vers zéro.

Soient donc

les points de division de A';

'*'0)'**oi> *'0J» •••» '*'l> •••> **» '**kl > • • • > '*'>t+l » • • • y ^ j

la suite des valeurs correspondantes des deux variables y, z; nous aurons

yk-hi — yk=/{^k,yki su)(a:k^i'-^k)

y'k+i "~/'a = \ fi^f^iy y'kiy z'ki){Xk,i+i'-œkt)y d'où

y'k^i'-yk-'iyk^i — yk)

= /^ [f{^kh y'kh Z'kd—fi^ki yki Zk)']{Xic,i^i'-Xki):

ÉQUATIOlfS DIFFÉBENTIELLES ORDINAIRES. gi

et, par suite, Mais on a

\R^ki, fkif 4/) —A^ky yk, «a) I < I /(^Ai» y'kh ^ki) —f{^k, y'k^ ^i)

|/(^*, ri» 4) — /(^*» yk, 5*)|

Le premier terme du second membre est moindre que \\ car on a

Le second est moindre que

nA\y'k- yk\-\-\z'k- ZkW

Oo aura donc

l7i+t — jA+il<l7i-7Al

On trouvera la même limite supérieure pour \zi^^^ — z'^\. Ajoutons ces deux inégalités, et posons pour abréger

Nous obtiendrons la relation Multipliant ces inégalités, il vient

Or, on a7'^=7oj ^=^0; donc Uo= — • Cette quantité

ga TROISIÈMB PARTIE. — CHAPITRE I.

tend vers zéro avec e, et il ea sera évidemment de même pour|y— j^l et|s' — ^|.

7y. Les valeurs limites des quantités y, z ainsi déterminées pour chaque valeur de x dans le domaine \x — •z^o|>p sont des fonctions de x. Elles satisfont aux équations différentielles proposées.

Soient, en effet, y H- Ay, z -h ^z les valeurs de ces fonctions correspondantes k x -h tix. Intercalant entre x et X + Aj: des points de division x^^ x^, • - • > nous aurons

-t- lira \ [/(ar*, 7a, s*) — /(o?, 7, 5)] ( j^^h-i — ^*).

Or, si nous supposons /ix <C Sy le terme qui multiplie (xa+i — Xk) aura son module moindre que X. La somme du second membre a donc un module moindre que

X y^lxj^^i — xicl = XAar,

et sa limite ne pourra surpasser cette quantité. On aura donc

R étant un reste de module moindre que X, qui tendra vers zéro avec Ax. Donc 7 a bien pour dérivée /{x, y, z). On verra de même que z a pour dérivée /^ (x, 7, z),

80. La solution que nous venons de trouver est la seule possible.

Soient, en effet, Y, Z deux fonctions jouissant comme 7, z de la double propriété de satisfaire aux équations différen-

ÉQUATIONS DIFFÉREITTIBLLBS ORDINAIRES. qS

tielles et de se réduire à ^o» ^o pour x = Xo. Les fonctions Y — j^j Z — z auront respectivement pour dérivées

/(ar,Y, Z)-/(^,7, «),

Elles sont donc continues et comme elles s'annulent pour x=zXq, elles ne pourront acquérir une valeur différente de zéro qu'après avoir passé par toutes les valeurs intermédiaires.

D'autre part, en vertu de nos hypothèses, tant que Y — y, Z — z seront moindres que e en valeur absolue, le module de leur dérivée sera <Cm.2e, et le module des fonctions elles-mêmes sera moindre que m.2t\x — Xo\.

Il en résulte que dans tout l'intervalle de Xo — -, — à

Xo-f -, — les modules de nos fonctions seront «< - tant L^m a

qu'ils seront *< e. Ils ne pourront donc atteindre aucune

des valeurs comprises entre - et e, ce qu'ils devraient faire

pour pouvoir atteindre ou dépasser e. Donc ils resteront toujours moindres que e, quantité arbitraire. Ils sont donc nécessairement nuls.

Le même raisonnement montre qu'étant nuls au point

^0 -t- 7 — 9 lis le seront encore de Xq H- 7 — a ^n -4- 7 — » • • • > [\m L^m L\ni

avons pu définir les fonctions^, z.

81. Passons au cas des fonctions et des variables complexes. Soit encore

un système de deux équations différentielles.

Nous admeltrons ici que (^oi^O) ^^o) soit un point ordinaire pour les fonctions /, f^. On pourra donc, par défînition, tracer autour de ^o? ^o> ^o des contours fermés K, K', K'^, tels que /,/i, et leurs dérivées partielles restent monodromes et continues, tant que j?,j^, ;; ne sortiront pas de ces contours.

K', K^; S, S', S*' les périmètres de ces contours; M une limite supérieure du module de /et de/i, lorsque x,

y^ z décrivent respectivement ces contours.

On pourra écrire

/(^,r, -)=y «apY('^ — ^o)*(j— Jo)P(-— -o)^,

ces développements restant convergents tant que les modules de X — Xq, y — ^'o, z — z^ resteront inférieurs à rf, rf', rf". D^ailleurs

et Ton aura (T. I, n<> 206)