I. — Généralités
106. On nomme équations différentielles linéaires celles où les fondions inconnues et leurs dérivées ne figurent qu'au premier degré.
Ces équations jouissent de plusieurs propriétés que nous allons exposer.
107. 1° Toute équation linéaire reste linéaire si l'on change la variable indépendante.
Soit, en effet,
une semblable équation, /?o, pt, . . . , ï désignant des fonctions connues de la variable indépendante t.
Posons t=:(f(u), u désignant une nouvelle variable. On
en déduira
dx dx , , ^
Tu =rf^"P(")'
tPx ePx ,,, ^ dx ,, .
dZi = -dFf^''^-^-dif^"^'
dx d^ ic équations qui donnent -j-> -jy» ••• en fonction linéaire
de -7-> -,—r> Substituant ces valeurs, ainsi que celle
du du} ^
de/, dans Téquation proposée, on obtiendra l'équation Irans-
dx d* ce formée, qui sera évidemment linéaire en x, -r-» -7-7» •••• ^ du du^
108. 2° Soient x^ y^ ... n fonctions d^une même vaviable indépendante /, satisfaisant à un système de n équations linéaires
(i) E,=ro, ..., E«=o,
et soit V un polynôme entier par rapport à x^y^ ... et à leurs dérivées successives y dont les divers termes aient pour coefficients des fonctions quelconques de t. La fonction V satisfera à une équation linéaire dont les coefficients s'expriment rationnellement en fonction des coefficients cfe E|, . . ., E,i, Y et de leurs dérivées successives.
En effet, soient respectivement m, m', ... les ordres des plus hautes dérivées de x, y^ ... qui figurent dans les équations (i); k le degré du polynôme V. Formons les dérivées successives de V. Chacune d'elles sera un polynôme de degré k par rapport k x^y, , , , et à leurs dérivées suc-
cessives. D'ailleurs les dérivées -7-^) -rrnnT^ * •> "irn^ >
dt"^ dt"^^^ dt"^
-^-— p^, ... peuvent s'exprimer linéairement par les dérivées précédentes, au moyen des équations (i) et de celles qui
s'en déduisent par dérivation.
dW Substituant ces valeurs, on aura pour V, -yj> •••? des
expressions de la forme
T|, T2, . . . , Tp Tj, . . . étant des fonctions de /, de l'espèce
ÉQUATIONS L1NÉA1RBS. iSg
indiquée à Ténoncé, et P|, P^, . . . des produits de la forme
où le nombre total des facteurs est au plus égal à k. Soient P| , P2, . . . , P/ les divers produits de ce genre que Ton pçut former et dont le nombre est évidemment limité. L'éliminalion de ces quantités entre les expressions (2) donne une
dW d^\
relation linéaire entre V, —r^ • • •> —r-r*
dt ar
109. 3® On sait que tout système d'équations différentielles simultanées peut être ramené, par l'adjonction de variables auxiliaires et la résolution par rapport aux dérivées des fonctions inconnues, à un système normal. Si les équations sont linéaires, il est clair que ces opérations laisseront subsister le caractère linéaire.
L'étude d'un système linéaire quelconque se ramène donc à celle d'un système linéaire normal de la forme
dcc
-y- -\-ax -\-by +...mT,
dv , ^
où a, 6, . . . , ai , 6| , . . . , T, T| , ... sont des fonctions de i. Nous considérerons en premier lieu les systèmes dits sans second membre, où l'on a
T m Tj = . . . ^= o.
HO. Théorème. — Si x^y yxy • • • î ^2» y^t • • • î • • • sont des solutions particulières d'un système d'équations li-néaires sans second membre, les expressions
où C|, C2« . • . sont des constantes arbitraires, satisferont au même système d'équations.
l4o TBOISliWB PARTIE. — CHAPITRE II.
En effet, le résultat de la substitution de ces expressions dans le premier membre de Tune quelconque des équations proposées sera évidemment de la forme
Cl H| -t- Cj Hj -f- . • . ,
H| désignant le résultat de la substitution de x^^yi, . . . *, H2 le résultat dé la substitution de ^1,^2» •*•• Mais X|, Vil • • M ^29^^27 • • • ) • • • étant des solutions, on aura
Hi = 0, Hj=:o, ...,
d'où
Cj lïi -f- Cj Hj -H ...-::= O.
m. Considérons spécialement un système canonique formé de n équations linéaires du premier ordre et sans second membre. Ce système admet la solution évidente x = o, ^ = o, ...; mais il admet une infinité d^autres solutions particulières.
Nous dirons que k solutions particulières d\in semblable système, telles que
^1» yij ^i» • • • >
^ky yki ^ky
sont indépendantes, si l'un au moins des déterminants d'ordre k formés avec les diverses colonnes du Tableau cidessus n'est pas identiquement nul.
Théorème. — Si l'on connaît k solutions indépendantes d^un système de n équations linéaires du premier ordre et sans second membre {k étant < ^)j on pourra ramener rintégration du système proposé à celle d^un système analogue ne contenant plus que n — k équations et à des quadratures.
Chaque solution de ce nouveau système fournira une solution du système primitif, indépendante de celles qui sont déjà connues.
fiQUATIOIïS LIirÉÀlRBS. I^I
Nous admettrons, pour Gxer les idées, qu*on ait quatre
équations
dx
--r'-{-ax -h by -^-cz -\- du r=o,
-j- 4- apT 4- h^y -h Cl 5 -+- c/j « = G,
-7- -\-a^x -^b^y ->rc^z -\-d^u—o^ ai
et que Ton connaisse deux solutions indépendantes
^i> yu ^1» '^i i
Admettons qu'on ait, par exemple,
On pourra poser
j7 = C] ^1 -H Cj .r,, V = C,7, 4- C,7„
C|, C2, 2^, u étant de nouvelles variables. Effectuant la substitution et remarquant que les termes en C», C2 s'annulent (car les équations proposées seraient satisfaites si ^, u étaient nuls et C|, C2 constants), il viendra
dC,
dt
dt dC^
^î -H c Ç -h d'j dt /«"^^>^"^^»'' = °î
dCx dCi d^ Y j
rfC,
dC,
rf. "'^-sr
Résolvant par rapport aux dérivées —rry —m -r.y -r.y
dt
dt ' dt' dt
on aura un résultat de la forme
; dCs
dt
dC, dt
dl
rrrAÇ + Bu,
— A,Ç-h Bju;
dt -^»î-^««^'
au
r- A,Ç-+- BjU.
On obtiendra donc Ç et u en intégrant les deux équations linéaires simultanées (5); C| et C2 s'obtiendront ensuite par des quadratures.
Soient d'ailleurs Ç', \J une solution particulière quelconque des équations (5) (autre que la solution évidente Ç= o, u = o); et supposons, pour fixer les idées, que 'Q ne soit pas nul. Soient C'^, G.^ les valeurs correspondantes de Cl, C2* La solution
Z^ m C, Cj -4- Cij ^8 4- Ç , W, =: C'i ^/, -h C j «i H- u'
sera indépendante des deux solutions déj.^ connues o^i, y^y 2 1 , W| , ; X2'i y^i ^2> fJ"! î car le déterminant
est différent de zéro.
Jl
Jl
112. Théorème. — Tout système de n équations linéaires du premier ordre et sans second membre admet n solutions particulières indépendantes ^i, r», ... ; . . .;
ÉQUATIONS LINÉAIRES. l43
^m Xn^ • • • €t sa solution la plus générale est la suivante
X = Cl J?i 4- . . . -h Cn^n, j = C, r, 4- . . . 4- Cfljn, . . . ,
OÙ Cl , . . . , Cn sont des constantes arbitraires.
La première partie de cette proposition résulte de ce que nous venons d'établir, que de l'existence de k solutions indépendantes {k étant <^n) résulte celle d'une nouvelle solution indépendante des précédentes.
Pour démontrer le second point, posons
X zn C, J?, -I- . . . + Cn^ay y — C,7, -f- . . . -f- C„7„,
C|, . . . , C/i désignant de nouvelles variables. Effectuant la substitution et remarquant, comme au numéro précédent, que les termes en Ci , . . . , C/i s'annulent, il viendra
dCi (iCn dCi dCft
'^•^'"'■•••"^"rfr'^'"-'''
Mais le déterminant des quantités x^, Vi, . . .; . . .; x,i^ yni ' • • est ^ o par hypothèse, les n solutions données étant indépendantes ; donc
^C; dCn
"57"""^' •••' If"''
et Cl, . . . , C/2 seront des constantes, d'ailleurs arbitraires. 113. Soient
Ç, m g; a-, -f- . . . -+- G'„ Xn, Trji = G\ 7, -4- ... -I- C'^yny
Ç/l Cj Xl 4- . . . -T- C,, ^„, T,;, ^1 ^1 '^~« • •"+- C«;,7rt> •••
n solutions particulières quelconques du système proposé. Leur déterminant est évidemment égal au produit du déterminant des solutions X|, y\, . . .; . . . ; x^ jKw» • • • par le déterminant des constantes C, , . . ., CJJ. La condition néces-
l44 TROISIÈMB PARTIE. — CHAPITRE II.
saire et sufGsante pour que ces solutions soient indépendantes est donc que ce dernier déterminant soit différent de zéro.
m. Les coefficients des équations différentielles proposées peuvent aisément s'exprimer au moyen d'un système quelconque de n solutions indépendant js, telles que Ç|,
Soit, en effet,
-7- H- ax -h 6/ -h . . . = o une -de ces équations; on aura identiquement
-^ -h aÇ, -h t>T<, -4- . . . = o,
et de ce système d'équations on déduira a, 6, ... exprimés par des quotients de déterminants.
115. A tout système d'équations linéaires sans second membre, tel que
^ -hfl^r -^by -f-cs — o,
^ H-aia7-f-6i/-4-Ci5=io,
dz
^ -4- a^x -H ^,7 -h Cjs = o,
est associé un système adjoint défini par les équations
^ — haX-f- ««Y -f rtjZ r= o,
dt
fit
ÉQUATIONS LINÉAIRES. l4^
Les solutions de ces deux systèmes ont entre elles une llaisoâ remarquable. Pour la mettre en évidence, ajoutons les équations précédentes, respectivement multipliées par X, Y, Z, — ar, — ^', — z. 11 viendra, toute réduction faite,
- dx dX. -, dy dY „dz dT»
dt de dt -^ dt dt dt
d'où
\x H- Y/ 4- Z2 = const.
La liaison entre les deux systèmes adjoints est évidemment réciproque. L'intégration complète de l'un d'eux entraînera celle de l'autre. Supposons, en effet, que Ton connaisse trois solutions indépendantes x^y y^^ Si ; ^2>J'2î ^aî Xj,^3, Z3 du premier système. La solution générale X, Y, Z du système adjoint sera donnée par les relations
X.r, -hY^i-r- Z5, m Cl, Xj^i-i-Y/j-h Z^.— Cï, X j?3 -h Yj, 4- Z^a — C„
C|, Cj, G3 étant des constantes arbitraires.
Si l'on connaissait seulement une ou deux solutions indépendantes du premier système, on aurait seulement une relation linéaire
X^i+Y/i-f-Z^i-Ci
ou deux relations
Xj'j-.-Y/j-hZs,— Cj.
Ces relations permettraient d'éliminer une ou deux des variables X, Y, Z des équations différentielles du système adjoint, et do ramener ainsi l'intégration de ce dernier système à celle d'un système plus simple, contenant une ou deux équations de moins.
J. — Cours, III. 10
l46 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
116. Systèmes d'équations linéaires à seconds membres. — Soit à intégrer un système d'équations linéaires à seconds membres, tel que le suivant :
—, — h ax -ir by -hcz -h du =T,
dy
-^ -\- a^x-ir biy -|-c,z -h rf, w — Tj,
dz
-t: -+- CL^x -h b^y H- c,5 -^' d^u — T3.
Considérons le système linéaire analogue
obtenu en supprimant les seconds membres.
Nous avons vu (111) que, si Ton connaît deux solutions indépendantes de ce dernier système, on peut, par un changement de variables convenablement choisi, le ramener au système suivant :
Jt =a.î:+b.«, J; =A,i; + B,u.
Il est clair que le même changement de variables, appliqué au système (6), le ramènera à la forme
^.zzAî 4-Bu 4-0, ^ ^A,C-f-B..4-0„
0, . . . , 63 étant des fonctions de t. On n'aura donc, pour déterminer Ç et u, qu'à intégrer un système de deux équa-
tioDS liDéaires simultanées; Ci, C2 s^obtiendront ensuite par de simples quadratures.
Si l'on avait obtenu Tintégrale générale du système (7)
a? =1 C| J?| -h Cj rj-i- C^X^-h C4^4,
« = Cl Wi H- Ct Wj 4- C, Wj H- C4 W4,
l'intégration du système (6) pourrait s'effectuer par de simples quadratures. Substituons, en effet, les valeurs précédentes dans les équations de ce système, en considérant Cl, ..., C4 comme de nouvelles variables. Ces équations deviendront
dCi dCi dC^ dC^ ^
dCi dCi rfC, dCi
et donnent immédiatement les dérivées — r-'-» •••> —r-* On
dt dt
aura donc Ci, . . . , C4 par des quadratures.
117. On pourra même se dispenser de ces quadratures, si l'on connaît une solution particulière x^^y^j Zq^ Uq du système (6). Posons, en effet.
Le résultat de la substitution de ^o^^o) ^O) '^o dans les premiers membres des équations (6) détruira les seconds membres, et il restera
^ 4- aS 4- ^T) -f- c Ç -h ^u =1 o.
On obtiendra donc la solution générale du système proposé en ajoutant la solution particulière Xo, ^o> ^0? "o à la solution générale du système sans seconds membres.
j48 troisième partie. — CHAPITRE 11.
On peut enfin remarquer que, si les seconds membres sonl de la forme
T = T'4 T' -+-... , T, = T; -f^ Tj -h. . . ,
et si Ton connaît une solution particulière J^qj^'q, . . . pour un système analogue où les seconds membres se réduisent respectivement à T', T, , . . . , une autre solution particulière "^o'^o' • • • pour le cas où les seconds membres se réduiraient à T",T", , . . ., etc., on aura une solution particulière du système proposé, en posant
3r in j?Q -f- a?Q -H . . . , y '—- y^"^ jo"^ * * ' ^ •..•
