Une équation linéaire d'ordre n
peut être remplacée par le système équivalent
~dr
dx"-'^ , ^
qjii rentre comme ras particulier dans ceux que nous venons de discuter. 11 convient, toutefois, d'effectuer l'étude direcliî de cette équation ; car elle fera paraître sous un nouveau jour quelques-uns des résultats déjà obtenus.
119. Considérons d'abord Téquation sans second nicnîbre d'* X d'^~^ X
S{)ient Xi Xf( des solutions particulières de cette
équation. Nous dirons que ces solutions sont iiïdépendantcs.
si le délerminaot
ar,
Xt
xf'
formé par ces fonctions et leurs k — i premières dérivées n'est pas identiquement nul.
Toute équation linéaire d^ ordre n sans second membre admet un système de n solutions indépendantes ^i , . . . , x„, et sa solution générale est
yji\ Xi -f- . . . -H Kjtff Xfiy
C,, ..., C,t étant des constantes arbitraires.
Pour établir ce théorème, nous supposerons qu'il soit vrai pour les équations d'ordre n — i et nous montrerons qu'il est encore vrai pour Téquation (8) d'ordre n.
Soit X\ une solution de cette équation (autre que la solution évidente ^=o). Posons j: = C^i, C désignant une nouvelle variable. On aura
dx ^, at
^ z^C'x,-\-^C'x\-\-Cx\,
'^''^^C-x,-^nC-'x\-h ^ii^ilc'«-«a:;-4-....^Cxï.
at
Substituant ces valeurs dans l'équation proposée, on aura l'équation transformée
ix^C^-h nx\
-ia-^(^-')^:
-h npiX^ L'équation devant être satisfaite, par hypothèse, si l'on
suppose C constant, Téquation (9) ne contiendra aucun terme
en C. Ce sera donc une équation linéaire d'ordre n — i par
rapport à sa dérivée C. Elle admettra, par hypothèse, n — i
solutions indépendantes j^2, ...ïj'w, et sa solution générale
sera de la forme
où C2, . . .; Cm sont des constantes arbitraires. Intégrant cette expression, il viendra
