C:=C,-hCtJ y,dt-{-...-^Cnf yndi
X étant une quantité choisie à volonté, et Ci une nouvelle constante arbitraire.
On en déduit
*X/ — v^ d7| — Lij %Vi -T~ v-if *^t "• • • • ~^ ^/i '^/i »
en posant, pour abréger,
^î — -a?! / y^dt,
dt.
11 reste à prouver que le déterminant
oc.
n^est pas identiquement nul.
Or ce déterminant est égal à
■"1 ^"i f Jï ^' -+- 2<7i-H ^1/1 . . .
dt 4- X^Yn
dt-Y-ix\y\'\'Xyyn
OU y en supprimant les termes qui se détruisent, à
^1 / ytdt
• • ^1 / yndt
• • • yn
^ij'î
^\ya
Or chacun des deux facteurs qui composent ce produit est différent de zéro, par hypothèse.
120. Soient X| , . . . , Xrt le système de solutions indépendantes dont nous venons de démontrer l'existence, et
?i = Cj j?, -f- . . . -h C'^^ii,
un autre système de n solutions. Le déterminant
• • • Srt
C/i-1 tn-\
S| ... ^fi
est évidemment égal au produit du déterminant des solutions Xi, . . . , X;, par celui des coefficients C.
Il est donc nécessaire et suffisant, pour que les solutions Çi, . . ., \,i soient indépendantes, que le déterminant des C ne soit pas nul.
S'il en est ainsi, X\y ...,a:«, et par suite toutes les solutions de l'équation différentielle, seront des fonctions linéaires de Çi « • • • ) s/i*
121. Soient d'ailleurs Çi, \^^ ..., $„ un système quelconque de solutions indépendantes de Téquation (8); on aura
df"
Px
df"
3p4-...4-/?,|Çs=0,
Ces équations permettront d'exprimer les coerficients />i 9 ' ' 'y Pn ^T^ fonction de Çi , . . . , Ç/, et de leurs dérivées.
lâS. On peut remarquer que la condition
exprime la condition nécessaire et suffisante pour qu'il n'existe entre les fonctions Xt, . . . y Xn aucune relation linéaire à coefficients constants, telle que
a|j?i4-. . .-r at»a:„~o
En effet, s'il existait une relation de ce genre, on obtien drait, en la différentiant,
et, en éliminant les paramètres ai, . . . , a/,, il viendrait
Kéciproquement, si ce déterminant est nul, x^^ X2j ...» Xn seront n solutions particulières de l'équation linéaire d'ordre n — i
On aura donc, en désignant par Xi, . . ., X/,i des solutions indépendantes de cette équation, et par C, , . . ., CJ|,
ÉQUATIONS LINÉAIRES. l53
des constantes,
j?i = Gj Xi -+-... H- G„, X;,i,
Éliminant Xi , ..., X;,| entre ces équations, on en déduira une relation linéaire entre a: i, . . ., ^/|.
123. Si Ton connaît k solutions indépendantes j^i, . . . , x^ de Téquation linéaire sans second membre
on pourra ramener son intégration à celle d'une équation linéaire d'ordre n — A", suivie de k quadratures. Posons en effet
les G désignant k nouvelles variables, liées entre elles par les A" — I relations
(lO)
On aura, en tenant compte de ces relations,
x^ z=\ QaiX'i, ..., x^~^^=\ Q»iX\
puis
Fr désignant une fonction linéaire de C| , • . . , Ca et de leurs
dérivées jusqu'à Tordre r.
Substituant ces valeurs dans l'équation proposée, on aura
un résultat de la forme
G désignant une fonction linéaire de C|, • • ., Ca et de leurs dérivées jusqu'à l'ordre n — Ar-l-i. D'ailleurs, l'équatiou étant satisfaite en supposant C|, •>., Ca constants, les termes qui contiennent ces quantités disparaîtront, et G ne
l54 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
contiendra que les dérivées C^ , . . . , C'^^ et leurs dérivées successives jusqu*à Tordre n — /r.
Cela posé, on peut tirer des équations (lo) les valeurs de C'jj, . . . , C';t en fonction de C, . Substituant ces valeurs, ainsi que leurs dérivées, dans G, on aura pour déterminer C, une équation linéaire d'ordre n — k.
Cette équation intégrée, on aura C, , . . ., C'^^, et l'on en déduira C| , . . . , C* par quadratures.
124. Supposons, par exemple, qu'on connaisse une solution particulière x^ de l'équation du second ordre
x' -^ pix' -^PfX ■= o.
Posons x=GiXi ; nous obtiendrons l'équation transformée
CJ^l-h {2X\ -h PiXi)C\ = 0
OU
Cl ^1 '
et, en intégrant,
logC'i = ~ 2 logo:, — i P\dt-\- const,
et enfin
/e~Sp -5!
e~SPxdt
A et B étant des constantes arbitraires.
