Revenons à l'équation sans second membre

(i4) J7'»H- p^x'^-^ -\~ p^x"^-^-^ . . .-^ pnX = 0.

Multiplions-la par une fonction indéterminée j' et intégrons. Il viendra, en appliquant aux termes qui contiennent les dérivées de Xy rintégration par parties

l56 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.

Si la fonction j' est une solution de Téquation linéaire

l'intégrale disparaîtra de la formule précédente, et Ton aura, pour déterminer x^ une équation linéaire d'ordre n — i, contenant une constante arbitraire.

Si l'on connaît k solutions^!, . . .,^a de l'équation (i5), on obtiendra, en posant successivement j^ =j^<, ...,^=j^';t, A' équations linéaires d'ordre n — i en .r. Éliminant entre ces équations les dérivées j:"" * , . . . , ^'»~*+* , on aura , pour déterminer j:, une équation linéaire d'ordre n — A", contenant A* constantes arbitraires.

L'équation (i5) se nomme Yéquation adjointe de l'équation (i4)- Il est clair que réciproquement l'équation (i4) est adjointe à l'équation (i 5).

127. On aurait pu arriver à l'équation adjointe (i5)cn remplaçant l'équation primitive (i4) par le système d'équations du premier ordre

~dr

dt

JJ^-'zn o,

qui lui est équivalent.

Ce système a pour adjoint le suivant :

Cl ■^ -mr m -mr m.

H-yoïX"-» — X'»-*=o,

dt dt

dX ^

équàtioivs ldiéàires. 1.57

On peut aisément éliminer X"~^, . . ., X entre ces équations. II suffira de les différentier respectivement n — i fois, n — 2 fois, etc., et de retrancher la somme des équations de rang impair de celle des équations de rang pair; il viendra

équation qui ne dififère de (i5) que par la notation.